Bài giảng Xác suất thống kê: Phần 2 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tập bài giảng Xác suất thống kê gồm 4 chương sau, cung cấp cho sinh viên những nội dung, kiến thức về: chương 3 - Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc; chương 4 - Đại lượng ngẫu nhiên liên tục; chương 5 - Thống kê và dữ liệu; chương 6 - Lý thuyết ước lượng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Xác suất thống kê: Phần 2 - Trường ĐH Võ Trường Toản Chương 3 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 3.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.1 Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, cách quãng nhau. 3.1.2 Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1 , x2 , · · · , xi và pi = P (X = xi ) là xác suất của biến cố X nhận giá trị xi . Quy luật này được thể hiện dưới dạng bảng sau: X x1 x2 · · · xn P p1 p2 · · · pn Ví dụ 185 Một kiện hàng có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm chọn ra. Bảng phân phối xác suất của X là? Giải Từ đề bài ta có 2 C6 1 P (X = 0) = 2 = C10 3 1 1 C C 8 P (X = 1) = 4 2 6 = C10 15 2 C4 2 P (X = 2) = 2 = C10 15 Vậy X 0 1 2 1 8 2 P 3 15 15 45 46 Chương 3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 3.1.3 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 3.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (kí hiệu là F(x)) là hàm số được xác định như sau: F (x) = P (X < x) = pi (3.1) xi 3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc 47 3.1.4 Mode Định nghĩa 3.3 Mode của một biến ngẫu nhiên là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó nó có nhiều khả năng xảy ra nhất. Mode của biến ngẫu nhiên X được kí hiệu là Mod(X). Mode của biến ngẫu nhiên rời rạc: Là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó nó có xác suất lớn nhất. Ví dụ 188 Cho bảng phân phối xác suất: X -20000 10000 40000 P 0,36 0,48 0,16 Tìm M od(X). 3.1.5 Kỳ vọng Định nghĩa 3.4 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất: X x1 x2 · · · xn P p1 p2 · · · pn thì kỳ vọng của X (kí hiệu E(X)) được xác định bởi công thức: n E(X) = xi .pi (3.2) i=1 Ví dụ 189 Gọi X là số chấm khi gieo một con xúc sắc, có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 4 5 6 P 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 Khi đó, kỳ vọng toán được xác định là: 1 1 1 1 1 1 E(X) = 1. + 2. + 3. + 4. + 5. + 6. 6 6 6 6 6 6 Cho C là một hằng số, X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Từ định nghĩa kỳ vọng ta rút ra được các tính chất sau của kỳ vọng: i) E(C) =C ii) E(CX) =C.E(X) iii) E(X+Y) =E(X)+E(Y) 48 Chương 3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 3.1.6 Phương sai Định nghĩa 3.5 Phương sai của biến ngẫu nhiên bằng trung bình của bình phương sự chênh lệch của những giá trị biến ngẫu nhiên so với trung bình của nó. Kí hiệu: V AR(X). Công thức: n V AR(X) = x2 .pi − [E(X)]2 i (3.3) i=1 Tính chất i) V AR(C) = 0 ii) V AR(C.X) = C 2 .V AR(X) iii) V AR(X + Y ) = V AR(X) + V AR(Y ) nếu X, Y độc lập. Ví dụ 190 Trong hộp có 5 bi đánh số từ 1 đến 5 (các bi có cùng kích cỡ). Lấy ngẫu nhiên 2 bi. X là tổng số viết trên 2 bi lấy ra. Phương sai V AR(X) bằng: Ví dụ 191 Gieo một lần con súc sắc cân đối và đồng chất. X là số chấm ở mặt xuất hiện. Phương sai là: Ví dụ 192 Một nhóm gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người trong nhóm. X là số nữ được chọn. Tìm V AR(X). Ví dụ 193 Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng. X là số sản phẩm tốt lấy được. Phương sai V AR(X). 3.1.7 Độ lệch chuẩn Định nghĩa 3.6 Phương sai của một biến ngẫu nhiên là con số đặc trưng cho sự phân tán của biến ngẫu nhiên quanh kỳ vọng của nó. Tuy nhiên, nó không cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên. Chính vì điều này, người ta đưa ra một tham số mới cũng có ý nghĩa giống như phương sai, nhưng cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên. Đại lượng này được gọi là độ lệch chuẩn. Kí hiệu: σ(X). Khi đó: σ(X) = V AR(X) (3.4) 3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc 49 3.1.8 Bài tập Bài tập 194 Trong hộp có 5 bi đánh số từ 1 đến 5 (các bi có cùng kích cỡ). Lấy ngẫu nhiên 2 bi. X là tổng số viết trên 2 bi lấy ra. Kỳ vọng E(X) bằng Bài tập 195 Một nhóm gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người trong nhóm. X là số nữ được chọn. Kỳ vọng E(X). Bài tập 196 Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng. X là số sản phẩm tốt lấy được. Phương sai V AR(X). Bài tập 197 Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con). Xác suất con trai là 0, 51. Gọi X là số con trai trong 2 lần sinh. Kỳ vọng X Bài tập 198 Có hai ...