Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 10: Biến đổi fourier

Chương này trình bày các tính chất của biến đổi Fourier sử dụng các hàm một chiều cho các ký hiệu đơn giản. Sau đó, tổng quát hoá các kết quả cho trường hợp hai chiều, đồng thời chương này cũng xem xét các hàm một chiều như các ví dụ đơn giản và sau đó khai triển cho các hàm không gian hai biến như các ví dụ xử lý ảnh. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 10: Biến đổi fourier Ch­¬ng 10 BIẾN ĐỔI FOURIER 10.1. GIỚI THIỆU Biến đổi Fourier là một công cụ mạnh trong phân tích hệ thống tuyến tính. Nó cho phép chúng ta xác định số lượng các tác dụng của các hệ thống số hoá, các điểm lấy mẫu, các bộ khuếch đại điện tử, các bộ lọc tích chập, nhiễu và các điểm hiển thị. Những người kết hợp kiến thức nguyên lý của các tính chất biến đổi Fourier với kiến thức thực tiễn của sự thể hiện vật lý được chuẩn bị kỹ càng để tiếp cận hầu hết các bài toán xử lý ảnh. Bình thường, những người phát triển sự kết hợp các kỹ năng là các sinh viên khoa điện tử và vật lý quang học, và họ thực hiện công việc này trong các khoá học. Tuy nhiên, đối với bất kỳ người nào thực sự có ý định sử dụng xử lý ảnh số trong công việc của họ, thì thời gian bỏ ra để thành thạo với biến đổi Fourier là đáng để đầu tư. Về ý nghĩa nào đó, biến đổi Fourier giống như một ngôn ngữ thứ hai để miêu tả các chức năng. Những người sử dụng thành thạo hai ngôn ngữ thường xuyên nhận thấy một ngôn ngữ tốt hơn ngôn ngữ kia để diễn tả một ý kiến nào đó. Tương tự, các nhà phân tích xử lý ảnh có thể di chuyển lui tới giữa miền không gian và miền tần số trong khi tiến hành trọn vẹn một vấn đề. Đầu tiên khi học một ngôn ngữ mới, người ta hay nghĩ đến ngôn ngữ bẩm sinh của anh ta hay cô ta và nhẩm dịch trước khi nói. Tuy nhiên, sau khi đã trở nên trôi chảy, họ có thể nghĩ đến một ngôn ngữ khác. Tương tự, một khi đã quen thuộc với biến đổi Fourier, nhà phân tích đều có thể thao tác trong miền không gian hay miền tần số và khả năng rất hữu ích. Trong phần đầu tiên của chương này, chúng ta sẽ trình bày các tính chất của biến đổi Fourier sử dụng các hàm một chiều cho các ký hiệu đơn giản. Sau đó, chúng ta tổng quát hoá các kết quả cho trường hợp hai chiều. Quy ước trong phần hai của quyển sách này là xem xét các hàm một chiều như các ví dụ đơn giản và sau đó khai triển cho các hàm không gian hai biến như các ví dụ xử lý ảnh. Trong nghiên cứu về phân tích hệ thống tuyến tính của chúng ta, chúng ta sẽ giới hạn thảo luận của chúng ta chỉ còn một phần của lĩnh vực được phát triển nhất này. Ví dụ, chúng ta chỉ sử dụng biến đổi Fourier mà không sử dụng biến đổi Laplace hay biến đổi Z, bởi vì chúng không cần thiết cho mục đích của chúng ta. Sự hạn chế này cho phép chúng ta phát triển các kỹ thuật mà chúng ta cần để phân tích các hệ thống xử lý ảnh số với một lượng phép toán phức tạp tối thiểu. Một nguyên nhân khiến chúng ta không cần đến biến đổi Laplace, và các kỹ thuật khác từ lĩnh vực phân tích hệ thống tuyến tính, là chúng ta làm việc với dữ liệu được thu nhận. Điều này làm nhẹ bớt cho chúng ta gánh nặng của việc thao tác bằng khả năng vật lý (tính nhân quả) và quan hệ mật htiết của nó đối với phân tích. Tính nhân quả. Các hệ thống tuyến tính thực hiện bằng phần cứng điện tử được đề cập đến như là nguyên nhân (causal) bởi vì tín hiệu vào gây ra sự xuất hiện tín hiệu ra. Nói chung, điều này có nghĩa là nếu đầu vào là 0 tại tất cả các thời điểm âm thì đầu ra cũng phải như thế với tthì đáp ứng xung phải bằng 0 với mọi t  2 F ( s )   e  ( t  j 2st ) dt (6)  Chúng ta nhân phía về phải bởi 2 2 e s e  s  1 Ta được 2  2 F ( s )  e s  e  (t  js ) dt (7)  Chúng ta bây giờ thực hiện biến đổi các biến (tính vi phân) u  t  js du  dt (8) Và biểu thức (7) trở thành 2  2 F ( s )  e s  e u du (9)  Tích phân trong biểu thức 9: được tính và rút gọn sẽ cho 2 F ( s )  e s (10) Hàm trong biểu thức (5) và trong biểu thức (10) là một cặp biến đổi Fourier. Và biến đổi Fourier của Gauss ta cũng gọi là biến đổi Gauss. Tính chất này làm cho hàm truyền đạt Gauss khá hữu dụng trong phân tích sau này: 10.1.2. Các tồn tại trong biến đổi Fourier do biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân. chúng ta phải biết địa chỉ các câu hỏi còn tồn tại trong tích phân biểu thức (1) và (2) 10.1.2.1. Các hàm tức thời một vài hàm có giá trị 0 khi giá trị đối số âm hay dương đủ lớn trong phép tích phân của biểu thức (1) và (2). đối với mục đích của chúng ta Nếu tích phân của giá trị của một hàm tồn tại. Ví dụ nếu:   f (t ) dt   (11)  Và hàm này là liên tục hoặc không liên tục trong một miền giới hạn, sau đó biến đổi Fourier của hàm tồn tại cho tất cả các giá trị của s. Chúng ta có thể gọi các hàm này là các hàm tức thời. Do nó không có nghĩa trong khoảng thời gian lớn: Đây là các hàm chúng ta sẽ cần phải thực hiện. Các tín hiệu số hay ảnh cần phải lược bỏ để giới hạn khung và độ bền của nó. Việc này đòi hỏi phải có biến đổi. Tuy nhiên trong một số trường hợp khác ta có thể không cần dùng các biến đổi 10.1.2.2. Hàm hằng và tuần hoàn biến đổi Fourier không tồn tại cho tất cả các giá trị của s nều f(t)= cosin(2t) hay Nếu f(t) = 1. Tuy nhiên xung (t), được giới thiệu trong chương 9 cho phép chúng ta có thể điều khiển các trường hợp thuận lợi. Xét biến đổi ngược của một cặp xung: 138  f (t )   1 ...