Bài tập giải tích dành cho Olypic toán

Trong nhiều năm qua, các cuộc thi Olympic toán quốc gia, quốc tế dành cho học sinh, sinh viên đã trở thành một sân chơi trí tuệ nhằm phát hiện và ươm mầm những tài năng toán học tương lai. Qua một thời sinh viên Đại học sư phạm đã từng nhiều lần tham dự các kyd thi Olumpic toán, bản thân tôi đã học tập được những điều thật đáng qúy giá về vấn đề rèn luyện tư duy độc lập, sáng tạo thông qua việc giải các bài toán khó....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập giải tích dành cho Olypic toán∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM LỜI NÓI ĐẦU. Trong nhiều năm qua, các cuộc thi Olympic toán quốc gia, quốc tế dànhcho học sinh, sinh viên đã trở thành một sân chơi trí tuệ nhằm phát hiện và ươmmầm những tài năng toán học tương lai. Qua một thời sinh viên Đại học sưphạm đã từng nhiều lần tham dự các kỳ thi Olympic toán, bản thân tôi đã họctập được những điều thật quý giá về vấn đề rèn luyện tư duy độc lập, sáng tạothông qua việc giải các bài toán khó. Hơn thế nữa, xuất phát từ nhiều đam mêvà yêu thích với lĩnh vực giải tích toán học, tôi luôn có mong muốn tìm tòi,tổng hợp những bài toán có lời giải đẹp và khó trên những tạp chí toán trongnước và nước ngoài. Trên cơ sở những bài toán sưu tầm được, tôi mở rộng nótheo nhiều hướng khác nhau để được những bài toán mới lạ hơn, hấp dẫn hơn.Nhằm giúp các bạn học sinh , sinh viên đang ôn luyện để chuẩn bị thi Olympiccó thêm một tài liệu hỗ trợ cho việc giải toán của mình, tôi xin mạnh dạn viếtcuốn sách: Bài tập giải tích dành cho Olympic toán. Mong rằng qua cuốnsách này, các bạn sẽ tìm thấy được niềm vui và những cảm xúc riêng trướcnhững dạng toán, những bài toán hay mà lâu nay trong những giáo trình giảitích căn bản các bạn rất ít gặp. Nội dung cuốn sách này được chia ra làm 7 chương. Từ chương 1 đếnchương 5, mỗi chương được chia ra làm 3 phần gồm: Tóm tắt lý thuyết- Cácdạng bài tập (có kèm theo lời giải chi tiết)- Bài tập đề nghị. Chương 6 là hệthống các bài tập tổng hợp- nâng cao cho các chương trên với những địnhhướng, gợi ý cách giải. Chương 7 là phần giới thiệu các đề thi của Hội Toánhọc Việt Nam đã ra thi từ năm 1993 đến 2011. Với kinh nghiệm còn non trẻ của một giảng viên trong buổi đầu dạy học,chắc chắn rằng cuốn sách này còn rất nhiều những sai sót, rất mong sự chỉ dạythêm của quý thầy cô giáo, sự đóng góp của các bạn học sinh-sinh viên yêuthích toán để tôi rút ra được nhiều kinh nghiệm quý báu. Cuối c ùng tôi xin chânthành cảm ơn Th.S Huỳnh Tấn Trọng giảng viên khoa Toán-Tin, trường Đạihọc Quảng Nam đã động viên, ủng hộ và giúp đỡ cho tôi trong việc hoàn thànhcuốn sách này. Mọi ý kiến trao đổi xin bạn đọc liên hệ theo địa chỉ sau đây: Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam, Số 102- Đường Hùng Vương-TP. Tam Kỳ Mail: quocdhsptoan@gmail.com Số điện thoại: 0982 333 443 www.MATHVN.com 1∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM DÃY SỐ THỰC VÀ GIỚI HẠNCHƯƠNG 1 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT1. Định nghĩa dãy số Dãy số là một ánh xạ u :    n  u n Ta thường ký hiệu dãy là  un  hoặc un  .2. Dãy số hội tụ, phân kỳ2.1. Định nghĩa2.1.1. Định nghĩa 1 a) Dãy  un  hội tụ đến a      0, N 0  , n > N 0  un  a   . Ký hiệu: lim un  a hoặc un  a  n    . n  b) Dãy  un  không hội tụ thì được gọi là dãy phân kỳ.2.1.2. Mệnh đề 1 Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.2.1.3. Định nghĩa 2 a) Dãy  un  được gọi là bị chặn trên nếu M : un  M n   . b) Dãy  un  được gọi là bị chặn dưới nếu m : un  m n   . c) Dãy  un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặndưới, tức là   0 : un   n   .2.1.4. Định nghĩa 3 a) lim un    A  0, N 0  , n > N 0  un  A . n  b) lim un    B  0, N 0  , n> N 0  un  B . n  Nhận xét: Tất cả các dãy số có giới hạn  đều phân kỳ.2.1.5. Mệnh đề 2 a) Mọi dãy số tiến đến  đều bị chặn dưới. b) Mọi dãy số tiến đến  đều bị chặn trên.2.2. Tính chất về thứ tự của dãy số hội tụ2.2.1. Mệnh đề 1 Cho  un  là một dãy số hội tụ có giới hạn là a và hai số thực  ,  .Nếu   a thì N1   : n   , n  N1    un .Nếu a   thì N 2   : n   , n  N 2  un   .Nếu   a   thì n0   : n   , n  n0    un   .2.2.2. Mệnh đề 2 www.MATHVN.com 2∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM Cho  un  là một dãy số hội tụ. Khi đó: a) Nếu N1   : n   , n  N1  un   thì lim un   n  b) Nếu N 2   : n   , n  N 2  un   thì lim un   . n  c) Nếu n0   : n   , n  n ...