Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P2

"Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P2 " trong bài viết trước, tôi có giới thiệu cuốn Bài tập Giải tích - Tập 1 của dịch giả Đoàn Chi. Đây là bản dịch một trong những cuốn sách bài tập Giải tích nổi tiếng "Problem in mathematical Analysis" của Kaczor và Novak.Hôm nay, xin giới thiệu tập 2 của bộ sách này. Tập này, dày 400 trang, là tài liệu tham khảo quý giá cho những người dạy Toán và học Toán ở Việt Nam....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P22.1. §¹o hµm cña hµm sè thùc 43 2.1.29. Cho f kh¶ vi trªn [a; b] tho¶ m∙n(i) f (a) = f (b) = 0;(ii) f 0 (a) = f+ (a) > 0; 0 f 0 (b) = f¡ (b) > 0: 0Chøng minh r»ng tån t¹i c 2 (a; b) sao cho f (c) = 0 vµ f 0 (c) ∙ 0. 2.1.30. Chøng minh r»ng f (x) = arctan x tho¶ m∙n ph¬ng tr×nh (1 + x2 )f (n) (x) + 2(n ¡ 1)f (n¡1) (x) + (n ¡ 2)(n ¡ 1)f (n¡2) (x) = 0víi x 2 R vµ n ¸ 2. Chøng minh r»ng f (2m) (0) = 0; f (2m+1) (0) = (¡1)m (2m)!: 2.1.31. Chøng minh r»ng ³ ¼´(a) (ex sin x)(n) = 2n=2 ex sin x + n ; x 2 R; n ¸ 1; µ 4 ¶ n (n) 1 1(b) (x ln x) = n! ln x + 1 + + ¢ ¢ ¢ + ; x > 0; n ¸ 1; 2 n µ ¶ µ ¶ ln x (n) n ¡n¡1 1 1(c) = (¡1) n!x ln x ¡ 1 ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ ; x > 0; n ¸ 1; x 2 n ¡ n¡1 1=x ¢(n) e1=x(d) x e = (¡1)n n+1 ; x 6= 0; n ¸ 1: x 2.1.32. Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau: X µn¶ n ³ ¼´ ³ ¼´(a) sin x + k = 2n=2 sin x + n ; x 2 R; n ¸ 1 k=0 k 2 4 Xn µ ¶ k+1 1 n 1 1(b) (¡1) = 1 + + ¢¢¢ + ; n ¸ 1 k k 2 n k=1 p 2.1.33. Cho f (x) = x2 ¡ 1 víi x > 1. Chøng minh r»ng f (n) (x) > 0 nÕu nlÎ vµ f (n) < 0 víi n ch½n. 2.1.34. Cho f2n = ln(1 + x2n ); n 2 N. Chøng minh r»ng (2n) f2n (¡1) = 0:44 Ch¬ng 2. Vi ph©n2.1.35. Cho P lµ mét ®a thøc bËc n, chøng minh r»ng n X P (k) (0) Xn P (k) (x) k+1 xk+1 = (¡1)k x : k=0 (k + 1)! k=0 (k + 1)!2.1.36. Cho ¸1 ; ¸2 ; : : : ; ¸n lµ c¸c gi¸ trÞ tho¶ m∙n ®iÒu kiÖn ¸k + ¸k + : : : + ¸k > 0; 1 2 n 8k 2 N:Kho ®ã hµm 1 f (x) = (1 ¡ ¸1 x)(1 ¡ ¸2 x) ¢ ¢ ¢ (1 ¡ ¸n x)sÏ ®îc x¸c ®Þnh trong l©n cËn 0. Chøng minh r»ng víi k 2 N ta cã f (k) (0) > 0. 2.1.37. Cho f lµ hµm kh¶ vi ®Õn cÊp n trªn (0; +1). Chøng minh r»ng víix > 0, µ ¶ µ µ ¶¶(n) 1 (n) 1 n n¡1 1 f = (¡1) x f : xn+1 x x 2.1.38. Cho I; J lµ hai kho¶ng më vµ f : J ! R, g : I ! J lµ c¸c hµm kh¶ viv« h¹n trªn J vµ I. Chøng minh c«ng thøc Faµ di Bruno cho ®¹o hµm cÊp ncña h = f ± g sau: X µ (1) ¶k1 µ (n) ¶kn (n) n! (k) g (t) g (t) h (t) = f (g(t)) ¢¢¢ ; k1 ! ¢ ¢ ¢ kn ! 1! 1!trong ®ã k = k1 + k2 + ¢ ¢ ¢ + kn vµ tæng lÊy trªn tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ k1 ; k2 ; : : : ; knsao cho k1 + 2k2 + ¢ ¢ ¢ + nkn = n.2.1.39. Chøng minh r»ng c¸c hµm sè sau : ( 2 e¡1=x nÕu x 6= 0;(a) f (x) = 0 nÕu x = 0; ( e¡1=x nÕu x > 0;(b) g(x) = 0 nÕu x ∙ 0; ( 1 1 e¡ x¡a + x¡b nÕu x 2 (a; b);(c) h(x) = 0 nÕu x 2 (a; b); =cïng thuéc C 1(R).2.2. C¸c ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh 45 2.1.40. Cho f kh¶ vi trªn (a; b) sao cho víi x 2 (a; b) ta cã f 0 (x) = g(f (x)),trong ®ã g 2 C 1 (a; b). Chøng minh r»ng f 2 C 1(a; b).2.1.41. Cho f lµ hµm kh¶ vi cÊp hai trªn (a; b) vµ víi c¸c sè ®; ¯; ° thùc tho¶m∙n ®2 + ¯ 2 ...