Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P3

"Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P3 " trong bài viết trước, tôi có giới thiệu cuốn Bài tập Giải tích - Tập 1 của dịch giả Đoàn Chi. Đây là bản dịch một trong những cuốn sách bài tập Giải tích nổi tiếng "Problem in mathematical Analysis" của Kaczor và Novak.Hôm nay, xin giới thiệu tập 2 của bộ sách này. Tập này, dày 400 trang, là tài liệu tham khảo quý giá cho những người dạy Toán và học Toán ở Việt Nam....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P33.2. Chuçi hµm vµ sù héi tô ®Òu 933.2.32. Cho X1 1 x f(x) = (¡1)n+1 p arctan p ; x 2 R; n=1 n nChøng minh r»ng f kh¶ vi liªn tôc trªn R.3.2.33. Chøng minh hµm 1 X sin (nx2 ) f(x) = ; x 2 R; n=1 1 + n3kh¶ vi liªn tôc trªn R.3.2.34. Cho 1 Xp ¼ ¼ f (x) = n(tan x)n ; x 2 (¡ ; ): n=1 4 4Chøng minh f kh¶ vi liªn tôc trªn (¡ ¼ ; ¼ ): 4 43.2.35. §Þnh nghÜa 1 X e¡nx f (x) = ; x 2 [0; 1): n=0 1 + n2Chøng minh r»ng f 2 C([0; 1)) , f 2 C 1(0; 1) vµ f 0 (0) kh«ng tån t¹i.3.2.36. H∙y chØ ra r»ng hµm 1 X jxj f(x) = n=1 x2 + n2liªn tôc trªn R. Nã cã kh¶ vi trªn R kh«ng?3.2.37. Chøng minh r»ng hµm ³ Riemann x¸c ®Þnh bëi 1 X 1 ³(x) = n=1 nxthuéc C 1(1; 1).94 Ch¬ng 3. D∙y vµ chuçi hµm3.2.38. Gi¶ thiÕt r»ng f 2 C 1 ([0; 1]) tho¶ m∙n nh÷ng ®iÒu kiÖn sau: (1) f 6´ 0, (2) f (n) (0) = 0 víi n = 0; 1; 2; : : : ; P 1 (3) víi mçi d∙y sè thùc fan g, chuçi an f (n) (x) héi tô ®Òu trªn [0; 1]: n=1Chøng minh r»ng lim n!an = 0: n!1 3.2.39. Víi x 2 R ®Æt fn (x) lµ kho¶ng c¸ch tõ x ®Õn ph©n sè gÇn nhÊt cãmÉu sè lµ n (tö sè vµ mÉu sè kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i lµ nguyªn tè cïng nhau). P 1T×m tÊt c¶ x 2 R ®Ó chuçi fn (x) héi tô. n=1 3.2.40. Cho g(x) = jxj víi x 2 [¡1; 1] vµ më réng ®Þnh nghÜa g cho mäi sèthùc x b»ng c¸ch ®Æt g(x + 2) = g(x). Chøng minh r»ng hµm Weierstrass fx¸c ®Þnh bëi X µ 3 ¶n 1 f (x) = g(4n x) n=0 4liªn tôc trªn R vµ kh«ng kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm.3.3 Chuçi luü thõa P 13.3.1. Chøng minh r»ng mçi chuçi luü thõa an (x ¡ x0 )n ®Òu tån t¹i R 2 n=0[0; 1] sao cho (1) chuçi luü thõa héi tô tuyÖt ®èi víi jx¡x0 j < R vµ ph©n kú víi jx¡x0 j > R, (2) R lµ cËn trªn ®óng cña tËp hîp tÊt c¶ nh÷ng r 2 [0; 1) ®Ó fjan jrn g lµ d∙y bÞ chÆn, p n 1 1 (3) 1=R = lim jan j (ë ®©y 0 = +1 vµ 1 = 0). n!13.3. Chuçi luü thõa 95 P 1R ®îc gäi lµ b¸n kÝnh héi tô cña an (x ¡ x0 )n . n=03.3.2. X¸c ®Þnh miÒn héi tô cña c¸c chuçi luü thõa sau: 1 X 1 X 2n (a) n3 xn ; (b) xn ; n=1 n=1 n! 1 ...