Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P4

"Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P4 " trong bài viết trước, tôi có giới thiệu cuốn Bài tập Giải tích - Tập 1 của dịch giả Đoàn Chi. Đây là bản dịch một trong những cuốn sách bài tập Giải tích nổi tiếng "Problem in mathematical Analysis" của Kaczor và Novak.Hôm nay, xin giới thiệu tập 2 của bộ sách này. Tập này, dày 400 trang, là tài liệu tham khảo quý giá cho những người dạy Toán và học Toán ở Việt Nam....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P43.4. Chuçi Taylor 143( 1 ; 2 ), vµ kÝ hiÖu E1 lµ hîp c¸c kho¶ng [0; 1 ] vµ [ 2 ; 1]. Bíc thø hai, ta bá c¸c 3 3 3 3kho¶ng më mét phÇn ba ë gi÷a cña hai kho¶ng cßn l¹i vµ ®Æt ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ 1 2 3 6 7 8 E2 = 0; [ ; [ ; [ ;1 : 9 9 9 9 9 9TiÕn hµnh t¬ng tù, ë bíc thø n, ta bá hîp tÊt c¶ c¸c kho¶ng më mét phÇnba ë gi÷a cña 2n¡1 kho¶ng cßn l¹i vµ kÝ hiÖu En lµ hîp cña 2n kho¶ng ®ãng,mçi kho¶ng cã ®ä dµi 3¡n . Khi ®ã 1 C= En : n=1Chó ý r»ng nÕu (ai ; bi ); i = 1; 2; : : : ; lµ d∙y c¸c kho¶ng ®∙ lo¹i bá th× 1 [ C = [0; 1] n (ai ; bi ): n=1X¸c ®Þnh hµm g b»ng c¸ch ®Æt ( 0 nÕu x 2 C; g(x) = 2(x¡ai ) bi ¡ai ¡1 nÕu x 2 (ai ; bi ); i = 1; 2; : : : :Tõ c¸ch x©y dùng tËp Cantor, suy ra r»ng mçi kho¶ng [a; b] ½ [0; 1] chøa métkho¶ng con m¬ kh«ng giao víi C. Thùc vËy, nÕu (a; b) kh«ng cã c¸c ®iÓmcña C, th× (a; b) lµ mét trong c¸c kho¶ng bÞ lo¹i bá (ai ; bi ) hoÆc kho¶ng concña nã. NÕu tån t¹i x 2 (a; b) C, th× cã n 2 N vµ k 2 f0; 1; 2; : : : ; 3n ¡ 1g £ ¤sao cho x 2 3k ; k+1 ½ (a; b). Khi ®ã, kho¶ng më mét phÇn ba ë gi÷a cña n 3n£ k k+1 ¤ ; 3n 3n , mµ thùc ra lµ mét trong c¸c kho¶ng (ai ; bi ), lµ mét kho¶ng con mëkh«ng chøa c¸c ®iÓm cña C. Hµm g gi¸n ®o¹n t¹i mçi ®iÓm cña x 2 C, vµ suy ra tõ trªn r»ng g cãtÝnh chÊt gi¸ trÞ trung gian.1.3.2. Gäi x0 2 (a; b) tuú ý cè ®Þnh. Tõ tÝnh ®¬n ®iÖu cña f , suy ra r»ng sup f (x) = f(x¡ ) ∙ f(x0 ) ∙ f (x+ ) = inf f (x) 0 0 a∙x144 Ch¬ng 3. D∙y vµ chuçi hµm(xem, ch¼ng h¹n, 1.1.35). B©y giê gi¶ sö r»ng f (x0 ) < f (x+ ): 0Khi ®ã, tån t¹i d∙y gi¶m thùc sù fxn g; xn 2 (x0 ; b], héi tô tíi x0 sao cho f (xn ) = f(x+ ). V× f t¨ng thùc sù, f (xn ) > f (x+ ) > f (x0 ). Theo tÝnh chÊt 0 0n!1gi¸ trÞ trung gian, tån t¹i x0 2 (x0 ; xn ) sao cho f (x0 ) = f(x+ ). Khi ®ã 0 inf f(x) ¸ inf f (x) = f (x0 ): x0 3.4. Chuçi Taylor 145Do ®ã, tån t¹i x0 2 (a; b) sao cho 1 f(x0 ) = (f (x1 ) + f (x2 ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn )): n1.3.7. (a) §Æt f (x) = (1 ¡ x) cos x ¡ sin x. Khi ®ã f(0) = 1 vµ f (1) = ¡ sin 1 < 0. V× vËy tån t¹i x0 2 (0; 1) tho¶ m∙n f (x0 ) = 0. (b) Ta biÕt r»ng (xem, ch¼ng h¹n, 1.1.12) lim e¡xjP (x)j = 0 vµ lim e¡xjP (x)j = +1: x!1 x!¡1 Do ®ã, tån t¹i x0 2 R sao cho e¡x jP (x0 )j = 1:1.3.8. Ta h∙y quan s¸t r»ng sgn P (¡al ) = (¡1)l vµ sgn P (¡bl ) = (¡1)l+1 ; l = 0; 1; : : : ; n:Theo tÝnh chÊt gi¸ trÞ trung gian, tån t¹i mét nghiÖm cña ®a thøc P trongmäi kho¶ng (¡bl ; ¡al ); l = 0; 1; : : : ; n:1.3.9. Kh«ng. XÐt, ch¼ng h¹n, f vµ g ®îc x¸c ®Þnh nh sau : ( 1 sin x¡a nÕu a < x ∙ b; f (x) = 0 nÕu x = a;vµ ( 1 ¡ sin x¡a nÕu a < x ∙ b; g(x) = 1 nÕu x = a:1.3.10. §Æt g(x) = f (x + 1) ¡ f (x); x 2 [0; 1]:Khi ®ã, g(1) = f (2)¡f(1) = ¡g(0). V× thÕ tån t¹i x0 2 [0; 1] sao cho f (x0 +1) =f (x0 ). VËy, ta cã thÓ lÊy x2 = x0 + 1 vµ x1 = x0 .146 Ch¬ng 3. D∙y vµ chuçi hµm1.3.11. XÐt hµm 1 g(x) = f (x + 1) ¡ f (x) ¡ (f (2) ¡ f (0)); x 2 [0; 1]; 2vµ ...