Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P5

"Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P5 " trong bài viết trước, tôi có giới thiệu cuốn Bài tập Giải tích - Tập 1 của dịch giả Đoàn Chi. Đây là bản dịch một trong những cuốn sách bài tập Giải tích nổi tiếng "Problem in mathematical Analysis" của Kaczor và Novak.Hôm nay, xin giới thiệu tập 2 của bộ sách này. Tập này, dày 400 trang, là tài liệu tham khảo quý giá cho những người dạy Toán và học Toán ở Việt Nam....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P53.4. Chuçi Taylor 193vµ do tÝnh liªn tôc cña f , f(xn ) ! f (x). V× F ®ãng, f(x) 2 F, hay nãi c¸chkh¸c x 2 f ¡1 (F). VËy ta ®∙ chøng minh r»ng f ¡1 (F) ®ãng. §Ó chøng minh (b) =) (c), chØ cÇn chó ý r»ng mäi tËp con më G cñaY lµ phÇn bï cña tËp con ®ãng F, tøc lµ, G = Y ½ F. Khi ®ã, ta cãf ¡1 (G) = X ½ f ¡1 (F). B©y giê ta sÏ chøng minh r»ng (c) =) (a). Gäi x0 2 X vµ > 0 tuú ý cè®Þnh. Theo gi¶ thiÕt, tËp f ¡1 (BY (f(x0 ); )) lµ më trong X. Do x0 lµ phÇn töcña f ¡1 (BY (f (x0 ); )), tån t¹i ± > 0 sao cho BX (f (x0 ); ) ½ f ¡1 (BY (f(x0 ); )).V× vËy, ta cã f (BX (x0 ; ±)) ½ BY (f (x0 ); ), tøc lµ f liªn tôc t¹i x0 . VËy, ta ®∙ chøng minh r»ng ba ®iÒu kiÖn ®Çu tiªn lµ t¬ng ®¬ng.TiÕp theo, ta chøng minh r»ng (a) =) (d). §Ó lµm vËy, lÊy y0 2 f(A). Theo®Þnh nghÜa nghÞch ¶nh cña mét tËp díi t¸c ®éng cña ¸nh x¹ f , tån t¹ix0 2 A sao cho f (x0 ) = g(x0 ). Do tÝnh liªn tôc cña f t¹i x0 , víi > 0 chotríc, tån t¹i h×nh cÇu BX (x0 ; ±) sao cho f(BX (x0 ; ±)) ½ BY (y0 ; ):V× x0 2 A, ta thÊy BX (x0 ; ±) A 6= ;. VËy ; 6= f (BX (x0 ; ±) A) ½ BY (y0 ; ) f(A);tøc lµ y0 2 f (A).§Ó chøng minh (d) =) (c), ®Æt A = f ¡1 (B). Khi ®ã f (f ¡1 (B)) ½ f (f ¡1 (B)) = B:Tõ ®ã f ¡1 (B) ½ f ¡1 (B). Cuèi cïng, ta chøng minh r»ng (c) =) (b). NÕu F ®ãng, th× F = F. Theo(c), f ¡1 (F) ½ f ¡1 (F);tøc lµ f ¡1 (F) ®ãng. 1.7.2. KÝ hiÖu B(X) lµ hä tÊt c¶ c¸c tËp con Borel cña X, tøc lµ, ¾ -®¹i sè ~c¸c tËp con cña X chøa mäi tËp më. KÝ hiÖu B lµ hä c¸c tËp B ½ Y sao cho194 Ch¬ng 3. D∙y vµ chuçi hµm ~f ¡1 (B) 2 B(X). Khi ®ã B lµ ¾ -®¹i sè c¸c tËp con cña Y. V× f liªn tôc, suy ~ra tõ bµi to¸n tríc r»ng nghÞch ¶nh cña mäi tËp më lµ më. Do ®ã, B chøa ~tÊt c¶ c¸c tËp con më cña Y . Tõ ®ã, B(Y) ½ B , suy ra nÕu B 2 B(Y), th× ~f ¡1 (B) 2 B(X). 1.7.3. Cho X = Y = R ®îc trang bÞ metric Euclide th«ng thêng d(x; y) = © 1 ªjx ¡ yj. X¸c ®Þnh f (x) = sin ¼x vµ F = n + n : n ¸ 2 . Khi ®ã, F ®ãng trongkh«ng gian metric X, v× nã chØ chøa c¸c ®iÓm c« lËp. MÆt kh¸c, n ¼ ¼ ¼ o f (F) = sin ; ¡ sin ; sin ; : : : 2 3 4kh«ng ®ãng trong Y bëi v× nã kh«ng chøa ®iÓm ®iÓm tÝch luü cña nã, tøc lµ®iÓm 0. LÊy X vµ Y nh trªn ®ång thêi x¸c ®Þnh f (x) = x(x ¡ 2)2 vµ G = (1; 3).Khi ®ã, f(F) = [0; 3). 1.7.4. NÕu yn inf f(F), th× yn = f (xn ), ë ®©y xn 2 F; n = 1; 2; 3; : : : . NÕu Fcompact trong X, th× tån t¹i d∙y con fxnk g cña fxn g héi tô tíi x 2 F. Do tÝnhliªn tôc cña f , fynk g x¸c ®Þnh bëi ynk = f(xnk ) lµ d∙y con cña fyn g héi tô tíif (x) inf f(F). VËy tÝnh compact cña f (F) ®îc chøng minh. 1.7.5. Gäi fxn g lµ d∙y c¸c phÇn tö trong F1 [ F2 [ : : : [ Fm héi tô tíi x. Khi®ã, tån t¹i Ýt nhÊt mét d∙y Fi chøa d∙y con fxnk g. Do ®ã, d∙y fxn g cã thÓph©n tÝch thµnh h÷u h¹n d∙y con sao cho mçi d∙y con ®îc chøa trong méttËp Fi . Do Fi ®ãng vµ f liªn tôc trªn Fi , f (xnk ) = fjFi (xnk ) ! fjFi (x) = f (x).Suy ra r»ng ff (xn )g ®îc ph©n tÝch thµnh h÷u h¹n d∙y con héi tô tíi f (x),tøc lµ ff (xn )g héi tô tíi f(x). §Ó thÊy r»ng kh¶ng ®Þnh kh«ng ®óng trong trêng hîp v« h¹n tËp, xÐt © ªFi x¸c ®Þnh nh sau : F0 = f0g; Fi = 1 ; i = 1; 2; 3; : : : . Hµm cho bëi i ( 1 víi x 2 Fi ; i = 1; 2; 3; : : : ; f (x) = 0 víi x 2 F0 ; S 1liªn tôc trªn mçi Fi ; i = 0; 1; 2; 3; : : : , nhng kh«ng liªn tôc trªn tËp Fi . i=03.4. Chuçi Taylor 195 1.7.6. LÊy tuú ý x0 2 [ Gt . Khi ®ã, tån t¹i t0 2 T sao cho x0 2 Gt0 . V× Gt0 t2Tmë vµ giíi h¹n cña f trªn Gt0 lµ liªn tôc, víi > 0, tån t¹i ± > 0 sao cho nÕu ¡ ¢x 2 B(x0 ; ±) ½ Gt0 , th× f (x) = fjGt0 (x) 2 B fjGt0 (x0 ); , tøc lµ f liªn tôc t¹ix0 . 1.7.7. Gi¶ sö r»ng víi mä tËp compact A ½ X, fjA lµ liªn tôc. NÕu d∙y fxngc¸c phÇn tö cña X héi tô tíi x, th× tËp A = fx; x1 ; x ...