Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P6

"Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P6 " trong bài viết trước, tôi có giới thiệu cuốn Bài tập Giải tích - Tập 1 của dịch giả Đoàn Chi. Đây là bản dịch một trong những cuốn sách bài tập Giải tích nổi tiếng "Problem in mathematical Analysis" của Kaczor và Novak.Hôm nay, xin giới thiệu tập 2 của bộ sách này. Tập này, dày 400 trang, là tài liệu tham khảo quý giá cho những người dạy Toán và học Toán ở Việt Nam....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P62.3. C«ng thøc Taylor vµ quy t¾c L’H«pital 2432.3.8. Theo c«ng thøc Taylor f (x) ¡ f (0) f 0 (0)x + 1 f 00 (µ1 (x))x2 2 = 0 : g(x) ¡ g(0) g (0)x + 1 g 00 (µ2 (x))x2 2MÆt kh¸c theo ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh f 0 (µ(x)) f 0 (0) + µ(x)f 00 (µ3 (x)) = 0 : g 0 (µ(x)) g (0) + µ(x)g 00 (µ4 (x))Sö dông c¸c ®¼ng thøc trªn vµ tÝnh liªn tôc t¹i 0 cña f 00 vµ g 00 ta dÔ dµngsuy ra µ(x) 1 lim = : x!0 + x 22.3.9. (a) Theo c«ng thøc Taylor f 0 (x) f 00 (x) f(0) = f (x + (¡x)) = f(x) + (¡x) + (¡x)2 1! 2! f (n) (x) f (n+1) (x ¡ µ1 x + ¢¢¢ + (¡x)n + (¡x)n+1 : n! (n + 1)! Cho µ = 1 ¡ µ1 ta ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh. ¡ x ¢ ³ 2 ´ x (b) Chó ý r»ng f 1+x = f 1+x , lµm nh c©u (a).2.3.10. Ta cã ³x x´ ³x´ f0 ¡x¢ ³x´ ¡ ¢ f (2n) x ³ x ´2n 2 2 f (x) = f + =f + + ¢¢¢ + 2 2 2 1! 2 (2n)! 2 ¡ (2n+1) x ¢ x ³ ´2n+1 f 2 + µ1 2 x + ; (2n + 1)! 2t¬ng tù ³x x´ ³x´ f0 ¡x¢ ³x´ ¡ ¢ f (2n) x ³ x ´2n 2 2 f(0) = f ¡ =f ¡ + ¢¢¢ + 2 2 2 1! 2 (2n)! 2 ¡ (2n+1) x ¢ x ³ ´2n+1 f 2 ¡ µ2 2 x ¡ : (2n + 1)! 2244 Ch¬ng 2. Vi ph©nTrõ vÕ víi vÕ hai ®¼ng thøc trªn ta ®îc 2 0 ³ x ´ ³ x ´ 2 (3) ³ x ´ ³ x ´3 f (x) = f (0) + f + f 1! 2 2 3! 2 2 2 ³ x ´ ³ x ´2n¡1 + ¢¢¢ + f (2n¡1) (2n ¡ 1)! 2 2 ¡x ¢ ¡x ¢ f (2n+1) 2 + µ1 x + f (2n+1) 2 ¡ µ2 x ³ x ´2n+1 2 2 + : (2n + 1)! 2V× ®¹o hµm tho¶ m∙n ®Þnh lý gi¸ trÞ trung gian (xem 2.2.31) ta cã ®iÒu ph¶ichøng minh. 2.3.11. Sö dông kÕt qu¶ bµi trªn víi f(x) = ln(x + 1), x > 0 vµ chó ý r»ng®¹ohµm lÎ cña f nhËn gi¸ trÞ d¬ng víi x > 0.2.3.12. Sö dông c«ng thøc Taylor víi sè d d¹ng Peano (xem 2.3.1), (a) f (x + h) ¡ 2f (x) + f (x ¡ h) lim h!0 ( h2 2 f (x) ¡ hf 0 (x) + h f 00 (x) + o(h2 ) 2 = lim h!0 h2 ) h2 00 2f (x) ¡ f(x) + hf 0 (x) ¡ f (x) + o(h2 ) ¡ 2 = f 00 (x): h2 (b) f (x + 2h) ¡ 2f(x + h) + f (x) lim h!0 h2 2 00 h f (x) + o(4h2 )o(h2 ) = lim ...