Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P7

"Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P7 " trong bài viết trước, tôi có giới thiệu cuốn Bài tập Giải tích - Tập 1 của dịch giả Đoàn Chi. Đây là bản dịch một trong những cuốn sách bài tập Giải tích nổi tiếng "Problem in mathematical Analysis" của Kaczor và Novak.Hôm nay, xin giới thiệu tập 2 của bộ sách này. Tập này, dày 400 trang, là tài liệu tham khảo quý giá cho những người dạy Toán và học Toán ở Việt Nam....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P72.5. C¸c øng dông cña ®¹o hµm 293 n 2.5.31. V× f 0 (x) = ¡ x e¡x nªn ta suy ra nã chØ b»ng 0 t¹i gèc to¹ ®é, h¬n n!n÷a nÕu n ch½n th× f 0 (x) < 0 víi x 6= 0, do ®ã trong trêng hîp nµy f kh«ngcã cùc trÞ. MÆt kh¸c nÕu n lÎ th× f 0 (x) > 0 khi x < 0 vµ f 0 (x) < 0 víi x > 0nªn víi c¸c gi¸ trÞ n lÎ ta cã f(0) = 1 lµ cùc ®¹i cña f . ¡ m ¢ 2.5.32. §¹o hµm f 0 (x) = (m + n)xm¡1 (1 ¡ x)n¡1 m+n ¡ n b»ng 0 t¹i duy mnhÊt x0 = 0 khi m > 1, t¹i x1 = 1 khi n > 1 vµ t¹i x2 = m+n . Ta dÔ dµng thö mm nr»ng f (x2 ) = (n+m)nm+n chÝnh lµ cùc ®¹i ®Þa ph¬ng cña f , h¬n n÷a nÕu m lÎth× f(x0 ) = 0 lµ cùc tiÓu ®Þa ph¬ng cña f . MÆt kh¸c nÕu m lÎ th× 0 kh«nglµ cùc trÞ cña f . Hoµn toµn t¬ng tù ta cã khi n ch½n, f (x1 ) = 0 lµ cùc tiÓu®Þa ph¬ng cña f vµ khi n lÎ th× x1 kh«ng thÓ lµ ®iÓm cùc trÞ cña f . mm nn 2.5.33. Tõ bµi trªn ta cã f ®¹t cùc ®¹i f(x) = (m+n)m+n t¹i ®iÓm x tho¶ m∙nph¬ng tr×nh m sin2 x = : m+n2.5.34. Víi x 6= 0; 1 ta cã 1 1 ¡x f 0 (x) = ¢p 3 : 9 3 x2 (1 ¡ x) ¡ ¢VËy f 0 (x) = 0 t¹i x = 1 : H¬n n÷a f 0 (x) > 0 khi x 2 0; 1 vµ f 0 (x) < 0 khi ¡ ¢ ¡ ¢ 3 p 3 3x 2 1 ; 1 , do ®ã f 1 = 34 lµ cùc ®¹i ®Þa ph¬ng cña f . Hµm f kh«ng kh¶ 3 3vi t¹i 0 vµ 1. Bªn c¹nh ®ã do f (x) > 0 víi x 2 (0; 1) vµ f (x) < 0 víi x < 0nªn f kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i 0, nhng f (1) = 0 lµ cùc tiÓu ®Þa ph¬ng cña f ,v× f (x) > 0 = f (1) víi x > 1 vµ víi x 2 (0; 1): H×nh vÏ 2.5.35. Ta cã f 0 (x) = arcsin x, suy ra ®iÓm cùc trÞ chÝnh lµ nghiÖm cña f , v×f (0) = 1 vµ f (¡1) = f (1) = ¼ nªn ¼ lµ gi¸ trÞ cùc ®¹i vµ 1 lµ gi¸ trÞ cùc tiÓu 2 2cña f trªn [¡1; 1].294 Ch¬ng 2. Vi ph©n 2.5.36. Víi x > 1 ta cã f 0 (x) < 0, suy ra f (x) < f (1) = 3 . Víi x 2 (0; 1) 2 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ta cã f 0 1 = 0, f 0 (x) < 0 nÕu x 2 0; 1 vµ f 0 (x) > 0 víi x 2 1 ; 1 , vËy 2 2 2 ¡1¢ 4 0f 2 = 3 lµ cùc tiÓu ®Þa ph¬ng cña f . Víi x < 0 ®¹o hµm f d¬ng, suy ra32 = f(0) > f (x). VËy gi¸ trÞ cùc ®¹i cña f lµ f(0) = f (1) = 3 . MÆt kh¸c v× lim f (x) = 2 x!1 lim f(x) = 0 vµ f (x) > 0 víi mäi x 2 R nªn cËn trªn ®óng cña f R) lµ 0,x!¡1nhng hµm f kh«ng cã cùc tiÓu trªn R.2.5.37. (a) Gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm x 7! xe¡x , x ¸ 0 lµ f(1) = 1 , vËy e 1X n 1 1 1 ak e¡ak ∙ ¢ n ¢ = : n k=1 n e e (b) Nh (a) ta chØ cÇn t×m gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm x 7! x2 e¡x ; x ¸ 0: (c) NÕu mét trong c¸c hÖ sè ak = 0 th× ta suy ra ngay bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh, gi¶ sö ak > 0 víi mäi k , lÊy logarÝt hai vÕ ta ®îc bÊt ®¼ng thøc t¬ng ®¬ng 1 X³ ak ´ n ln ak ¡ ∙ ln 3 ¡ 1: n k=1 3 Vµ ta ®i t×m gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm x x 7! ln x ¡ ; x > 0: 32.5.38. Ta cã ( ³³p ´ ´ 1 ¡1=jxj 1 1 x2 e 2 + sin px sgn x ¡ cos x víi x 6= 0; f 0 (x0 = ...