Bài tập Hình học cao cấp - Văn Như Cương

Bài tập Hình học cao cấp của tác giả Văn Như Cương trình bày 4 chương sau: chương I: Phương pháp tiên đề, chương II: Các phép biến hình trong mặt phẳng, chương III: Hình học xạ ảnh và chương IV: Đường bậc hai trong mặt phẳng xạ ảnh. Mời bạn đọc cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập Hình học cao cấp - Văn Như Cương CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ Bài 1 trang 199: Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong lý thuyết. Tìm môhình của H sao cho mô hình đó có đúng n vectơ, với n là số nguyên dươngcho trước. Giải: * Mô hình 1: Vectơ: ánh xạ A: R  R x  f(x) = A(x) Phép cộng hai ánh xạ và quan hê bằng được xác định : X  Y: = f g  f ( x)  g ( x) Mô hình trên thoả: f , g : f  g  g  f f , g , h : f  ( g  h)  ( g  f )  h ánh xạ kh ông (0) : R  R  x0 ánh xạ đối : (- f ) : R  R  x  f ( x)   A( x) * Mô hình 2: Xét tập z n = {[0], [1], [2], [3], . . . . , [ n-1] } Vectơ là [i] Phép cộng được định nghĩa như sau: Mô hình trên thoả : j + i = k: trong đó k = j + i : j  i , i, j  1, n  1 ·  i, j: i    j   i    j  ·  i, j, m : i   ( j   m)  (i    j )  m · . Vectơ không là tập 0 · Vectơ đối của [ i] là [n-1] 1 Mô hình 2 có đúng n vectơ là một số nguyên dương cho trướcBài 2: Hệ tiên đề K gồm :điểm ,đường,thuộc + Khái niệm cơ bản + Các tiên đề : i) có ít nhất một điểm ii) qua hai điểm phân biệt có không quá một đường. iii)mỗi đường có ba điểm phân biệt. iv)Mỗi điểm nằ trên ba đường phân biệt a.Chứng minh các định lý: + Hai đường thẳng biệt có không quá một điểm chung. + Có ít nhất là bảy điểm ,có ít nhất là bảy đường. b.Xây dựng các mô hình của K gồm bảy điểm ,bảy đường hoặc chínđiểm,chín đường. Giảia.Chứng minh + Hai đường phân biệt có không qía một điểm chung. Nếu như hai đường thẳng phân biệt a và b có hai điểm chung là A và B A  B  thì qia hai điểm A,B sẽ có hai đường thẳng phân biệt a và b (trái ii)) + Có ít nhất là bảy điểm ,bảy đường Theo tiên đề i) có ít nhất là một điểm ta kí hiệu là A ,theo iv) có bađường phân biệt x,y,z qua A. Theo tiên đè iii) trên x ngoài biến A còn có 2 điểm phân biệt nửa B,C Tương tự trên y ngoài A có 2 điểm phân biệt D,E Trên z ngoài A có 2 điểm phân biệt G,H Theo định lý 1: hai đường thẳng phân biệt sẽ có không quá một điểmchung  Bảy điểm A,B,C,D,E,G,H đôi một phân biệt và khác nhau. Theo tiên đề iv) mỗi điểm nằm trên ba đường thẳng phân biệt .Nên ngoàix qua B còn có 2 diểm phân biệt khác ta đặt u,v. Tương tự :ngoài x qua C còn có 2 đường : w,  Theo tiên đề ii)qua hai điểm phân biệt có không quá một đường  Bảy đường x, y, z , u , v, w,  đôi một phân biệt và khác nhau. b.+ Mô hình K gồm bảy điểm ,bảy đường. Xét C có 3 đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau t ại G. Ta có: bảy điểm A,B,C,D,E,F,G,H. Ta gọi mỗi đường là bộ đôi ba điểm A, F , B, B, D, C, A, E , C, A, G, D, C , G, F , B, G, E, F , E , D + Mô hình K gồm chín điểm ,chín đường. 2 Ta lấy 9 điểm phân biệt : A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , C1 , C 2 , C3 . Mỗi bộ ba điểm sau đây được xem là một đường:A1 , B1 , C1 , A1 , B 2 , C 3 , A1 , B3 , C 2 , A2 , B 2 , C 2 , A2 , B1 , C 3 , A3 , B3 , C 3 , A3 , B1 , C 2 , A3 , B 2 , C1  Bài 3trang 199: Hệ tiên đề gồm : + Khái niệm cơ bản : “ điểm”, “ đường thẳng”, “điểm thuộc đường thẳng” + Các tiên đề: Bất kì hai điểm phân biệt nào đều thuộc một và chỉ một đường thẳng. i) ii) Bất kì hai đường thẳng phân biệt nào đều thuộc một và c hỉ một điểm. iii) Có ít nhất bốn điểm trong đó bất kì ba điểm nào cũng không cùng thuộc một đường thẳng. a) Hãy xây dựng mô hình của P. Chứng tỏ r ằng hệ tiên đề P phi mâu thuẫn nếu số học phi muân thuẫn. b) Hãy chứng tỏ rằng tiên đề iii) là độc lập. Chứng minh hệ tiên đề P không đầy đủ. c) Giải: a) Xây dựng một mô hình của hệ tiên đề P : Ta gọi điểm là bộ ba số ( x; y; z ) với các số có giá trị 0 hoặc 1 và x 2  y 2  z 2  0 . Như vậy ta có 7 điểm: A1(1,0,0); A2(0,1,0); A3(0,0,1); A4(0,1,1); A5(1,0,1); A6(1,1,0); A7(1,1,1). + Mỗ i phương trình sau là một đường thẳng : d1: x = 0 d2: y = 0 d3: z = 0 d4: x - y = 0 d5: y – z = 0 d6: x – z = 0 d7: (x+y–z)(x–y+z)=0 + Mổi điểm gọi là thuộc đuờng thẳng nếu bộ b ...