Bài tập Không gian vector

Problem 1.1. giả sử A là một ma trên vuông cấp n, và C(A) = {B BA = AB} là tập hợp tất cả các ma trận vuông phức cấp n giao giao hoán được với A: Chứng minh rằng: C(A) là không gianvector con của không gian vector Mnn v dimC(A) n:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập Không gian vector 1. Không gian vectorProblem 1.1. Gi s A là m t ma tr n vuông c p n, và C (A) = {B | BA = AB } là t p h pt t c các ma tr n vuông ph c c p n giao hoán đư c v i A. Ch ng minh r ng: C (A) là khônggian vector con c a không gian vector Mn×n và dim C (A) ≥ n.Hint. Xét ánh x tuy n tính: T : Mn×n −→ Mn×n B → AB − BA.Khi đó S = ker T là không gian vector con c a không gian các ma tr n Mn×n . Đ ý r ng, n uC là ma tr n kh ngh ch thì AB = BAkhi và ch khi C ACC BC = C BCC −1 AC. N u D1 , . . . , Dn là các ma tr n đ c l p tuy n −1 −1 −1tính thì C −1 D1 C, . . . , C −1 Dn C cũng đ c l p tuy n tính. Do đó đ đơn gi n ta gi s A có d ngJordan, v i kh i Jordan th i c p k là: a 1 ... 0    ... ...  Ai =  . 0 a 1 0 0 aKhi đó Ai giao hoán v i b1 b2 . . . bk   .. .. . .   Bi =  . 0 b b 1 2 0 0 b1Do đó A giao hoán v i B1   .. B= . . BrVì trong B có n bi n nên dim C (A) ≥ n. ♥Problem 1.2. Cho S là không gian con c a không gian Mn (C) sinh b i t p t t c các ma tr ncó d ng AB − BA. Ch ng minh r ng: dim S = n2 − 1.Hint. Ta c n ch ra S có n2 − 1 vector đ c l p tuy n tính. Đó là các ma tr n: Mij = Mik Mkj −Mkj Mik , i = j (có n2 − n ph n t ) M11 − Mjj = Mij Mj 1 − Mj 1 Mij , j = 1 (có n − 1 ph n t ), trong đó ma tr n Mij là ma tr ncó ph n t 1 v trí ij, các v trí khác đ u b ng 0. Do đó dim S ≥ n2 − 1, m t khác S = Mn×nnên dim S < n2 . Suy ra: dim S = n2 − 1. ♥Problem 1.3. Cho A, B là các không gian vector con c a không gian vector h u h n chi u Vsao cho A + B = V. G i n = dim V, a = dim A, b = dim B. L y S là t p t t c các t đ ng c uf c a V mà f (A) ⊂ A, f (B ) ⊂ B. Ch ng minh r ng S là không gian con c a không gian t tc các t đ ng c u c a V và hãy bi u th s chi u c a S qua a, b, n.Hint. L y f, g ∈ S và r, s ∈ R. Khi đó ta có: ∀v ∈ A, (rf + sg )(v ) = f (rv ) + g (sv ) ∈ Avì f, g b t bi n đ i v i A. Tương t ta cũng có (rf + sg )(v ) ∈ B. V y rf + sg ∈ S, hayS là không gian vector con c a không gian vector các t đ ng c u c a V. Đ tính s chi uc a S ta ch c n tính s chi u c a không gian các ma tr n b t bi n v i A và B. G i A1 , B1là không gian vector con c a V sao cho A = (A ∩ B ) A1 , B = (A ∩ B ) B1 . Khi đódim(A ∩ B ) = r = a + b − n, dim A1 = a − r, dim B1 = b − r. L y {u1 , ..., ua−r } là c sc a A1 , {v1 , ..., vr } là c s c a A ∩ B , {w1 , ..., wb−r } là c s c a B1 , M i t đ ng c u b tbi n đ i v i A, B thì ph i b t bi n đ i v i A ∩ B. Do đó f (ui ) đư c bi u th tuy n tính qua 1 2{u1 , ..., ua−r , v1 , ..., vr }, f (vi ) ch có th bi u di n tuy n tính qua {v1 , ..., vr }, f (wi ) đư c bi udi n tuy n tính qua {v1 , ..., vr , w1 , ..., wb−r }. Suy ra ma tr n c a f có d ng: a−r b−r r   a−r M1 0 0 r  M2 M3 M4  b−r 0 0 M5trong đó s ph n t khác 0 nhi u nh t là (a − r)2 + rn + (b − r)2 = a2 + b2 + n2 − (a + b)n. V ydim S = a2 + b2 + n2 − (a + b)n. ♥Problem 1.4. Cho T là t đ ng c u c a không gian vector V. Gi s x ∈ V mà T ...