Bài tập toán cao cấp-Chương 4

Tham khảo tài liệu bài tập toán cao cấp-chương 4, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập toán cao cấp-Chương 4Bai t p chương 4Bài 4.1. Hãy xây d ng m t ánh x tuy n tính f : R3 → R2 th a đi u ki n f (1, −1, 1) = (1, 0) và f (1, 1, 1) = (0, 1).Bài 4.2. Trong không gian vectơ R2 xét các h vectơ u1 = (1, −1), u2 = (−1, 2), u3 = (0, −1) và v1 = (1, 0), v2 = (0, 1), v3 = (1, 1). T n t i hay không m t toán t tuy n tính f trong R2 th a mãn f (ui ) = vi , ∀i =1, 2, 3.Bài 4.3. Cho f : R3 → R3 là ánh x tuy n đư c xác đ nh b i f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 + 2x3 , x1 − x2 + 3x3 , 3x1 − 3x2 + 8x3 ). a) Ch ng minh r ng f là m t toán t tuy n tính trong R3 . b) Tìm đi u ki n c a a, b, c ∈ R sao cho vectơ u = (a, b, c) n m trong Imf . Tđó hãy tìm h ng c a f . c) Tìm đi u ki n c a a, b, c ∈ R sao cho vectơ u = (a, b, c) n m trong ker f . Tìmm t cơ s cho không gian con ker f .Bài 4.4. Tìm m t toán t tuy n tính trong R3 sao cho Imf = (1, 0, −1), (2, 1, 1) .Bài 4.5. Cho ánh x tuy n tính f : R3 → R2 đư c đ nh nghĩa b i f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , 2x3 − x1 ). a) Tìm ma tr n bi u di n f đ i v i c p cơ s chính t c c a R3 và R2 . b) Tìm ma tr n bi u di n f đ i v i c p cơ s B = (u1 = (1, 0, −1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)) và B = (v1 = (1, 1), v2 = (1, 0)). không gian R3 có ma tr n bi u di nBài 4.6. Gi s toán t tuy n tính f trongtrong cơ s chính t c là   13 2  01 1 . A= −1 2 3Hãy tìm m t cơ s cho Imf và m t cơ s cho ker f . 1Bài 4.7. Cho f là toán t tuy n tính trong không gian vectơ R2 đư c xác đ nh b i f (x1 , x2 ) = (−x2 , 2x1 )và B0 là cơ s chính t c c a R2 . a) Tìm ma tr n bi u di n f trong B0 . b) Tìm ma tr n bi u di n f trong cơ s đư c s p B = (u1 = (1, 1), u2 = (−1, 2)).Bài 4.8. Cho f là toán t tuy n tính trong không gian R3 đư c xác đ nh b i f (x1 , x2 , x3 ) = (3x2 + x1 , −2x2 + x3 , −x2 + 2x3 + 4x1 ). a) Tìm ma tr n bi u di n f trong cơ s chính t c c a R3 . b) Tìm ma tr n bi u di n f trong cơ s B = (u1 = (−1, 2, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, −3, −2)).Bài 4.9. Cho ánh x tuy n tính f t R3 vào R2 , đư c xác đ nh như sau: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 − 3x3 , 2x1 + x3 ) a) Tìm cơ s và s chi u c a không gian Kerf và Imf . b) Cho A = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 1, 0)) và B = (v1 = (1, 1), v2 =(1, 2)). Tìm ma tr n bi u di n ánh x f theo c p cơ s A, B (kí hi u [f ]A,B ).Bài 4.10. Cho f là toán t tuy n tính trong R3 v i f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 , x1 + x2 , 3x1 + x2 − x3 ). a) Xét xem f có kh ngh ch không? N u f kh ngh ch hãy tìm f −1 . b) Ch ng minh r ng (f 2 − Id)(f − 2Id) = 0.Bài 4.11. Cho f là toán t tuy n tính trong không gian vectơ R2 đư c xác đ nhbi f (x1 , x2 ) = (−x2 , 2x1 )và B0 là cơ s chính t c c a R2 . a) Tìm ma tr n bi u di n f trong B0 . b) Tìm ma tr n bi u di n f trong cơ s đư c s p B = (u1 = (1, 1), u2 = (−1, 2)). c) Tìm t t c các s th c α ∈ R sao cho toán t tuy n tính (f − αId) kh ngh ch. 2Bài 4.12. Cho f là toán t tuy n tính trong không gian R3 đư c xác đ nh b i f (x1 , x2 , x3 ) = (3x2 + x1 , −2x2 + x3 , −x2 + 2x3 + 4x1 ). a) Tìm ma tr n bi u di n f trong cơ s chính t c c a R3 . b) Tìm ma tr n bi u di n f trong cơ s B = (u1 = (−1, 2, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, −3, −2)). c) Ch ng minh r ng f kh ngh ch và tìm f −1 . 3