Bài tập Toán: Nguyên hàm - tích phân

Nguyên hàm các hàm hữu tỷ - NGHỆ AN1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số thường gặp để tính Ví dụ : Tính I = = 2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng I= Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x .*1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập Toán: Nguyên hàm - tích phân NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC – GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ ANI-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàmcác hàm số thường gặp để tính Ví dụ : Tính I = = 2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x . I= *1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thànhtổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫuthức ,hoặc tử thức là hằng số. .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) = q(x) +là hằng số. Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏhơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số. .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số. *2. Tính các nguyên hàm I =+ Dạng I: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b) I1 = = = ln +C+ Dạng II: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b ) I2 = = = +C+ Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số .Tùy vào sự có nghiệm hay vô nghiệm của g(x) = ax2+bx+c .Ta chỉ I3 =cần xét với a = 1 .Vì nếu a thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa hằng số ra ngoài dấu tích Với b1 = , c1 =phân.Có I3 = =Xét I3 = a -Nếu x2+bx+c = (x- x1)(x- x2) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B saoTRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂNcho : = + . Do đó : I3 = =A + = Aln(x-x1)+Bln(x-x2) + C b -Nếu x2+bx+c = (x- x0)2 .(x0 là nghiệm kép của mẫu thức )Hai trường hợp : * Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I3 = = =- +C (Dạng I2 khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ) *Trường hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0) .Biến đổ i: . Do đó ta có: = = +I3 = = + (q - ) = +( - q). +C c -Nếu x2+bx+c = 0 vô nghiệm .Ta biến đổ i: = = +Do đó: = + (q - ) = + C + (q - ) . dạng I = , với u = x +Nguyên hàm : J = và a = . Đặt u = atant ,Thì du = a(1 + tan2t)dt và u2+a2 = a2(1 + tan2t) Ta có:Nguyên hàm I = I= = = = +C+ Dạng IV : I4 = .Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng số a-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c có 3 nghiệm phân biệt x3+ax2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3)Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + +Do đó :TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (2) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂNI4 = =A +B +C = A. ln +B. ln + C.ln +D b-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x- x0)2 với x1 x0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn)Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = +Do đó : I4 = =A + =A + .dx =A + + + D (Đổi dấu rồi,yên tâm) = A.ln + . ln + (Bx0-C). c-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x2+px + q) trong đó x2+px+q = 0 vô nghiệmThì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + = + ...