Bài tập về không gian vecto Euclide

Đại số cơ bản - Ôn thi thạc sỹ toán học - Bài tập về không gian vecto Euclide
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập về không gian vecto Euclide Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 19. Bài t p v không gian véctơ Euclide PGS TS M Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 20061. Tìm m t cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a không gian véctơ con L c a R4 trong các trư ng h p sau: a. L = α1 , α2 , α3 v i α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (1, 1, 1, 1), α3 = (0, −1, 0, 1) b. L = α1 , α2 , α3 v i α1 = (1, 2, 2, −1), α2 = (1, 1, −5, 3), α3 = (3, 2, 8, −7). x1 − x2 + x4 = 0 c. L = (x1 , x2 , x3 , x4 ) x2 − x3 − x4 = 0 Gi i. a. D th y α1 , α2 , α3 ĐLTT nên α1 , α2 , α3 là cơ s c a L. Đ tìm cơ s tr c giao c a L ta ch c n tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , α3 . Ta có: β1 = α1 α2 , β1 2 β2 = α2 − β1 = (1, 1, 1, 1) − (1, 1, 0, 0) = (0, 0, 1, 1) β1 , β1 2 α3 , β1 α3 , β2 = α3 − β1 − β3 β2 β1 , β1 β2 , β2 −1 1 1 1 11 = (0, −1, 0, 1) − (1, 1, 0, 0) − (0, 0, 1, 1) = ( , − , − , ) 2 2 2 2 22 Ta có th ch n β3 = (1, −1, −1, 1). V y, cơ s tr c giao c a L là: β1 = (1, 1, 0, 0), β2 = (0, 0, 1, 1), β3 = (1, −1, −1, 1) Tr c chu n hóa cơ s tr c giao trên, ta đư c cơ s tr c chu n c a L là: 11 11 1 1 11 e1 = ( √ , √ , 0, 0), e2 = (0, 0, √ , √ ), e3 = ( , − , − , ) 2 2 22 22 22 b. Gi i tương t câu a., chi ti t dành cho b n đ c. c. Đ u tiên, ta tìm m t cơ s c a L. L là không gian nghi m c a h x1 − x2 + x4 = 0 (1) x2 − x3 − x4 = 0 do đó cơ s c a L là h nghi m cơ b n c a h (1). H (1) có vô s nghi m ph thu c 2 tham s x3 , x4 . Ta có: x2 = x3 + x4 x1 = x2 − x4 = x3 1 do đó, h nghi m cơ b n c a h (1) là: α1 = (1, 1, 1, 0); α2 = (0, 1, 0, 1) Do đó, cơ s c a L là α1 , α2 . Tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , ta s đư c cơ s tr c giao c a L.Ta có: β1 = α1 α2 , β1 1 12 1 β2 = α2 − β1 = (0, 1, 0, 1) − (1, 1, 1, 0) = (− , , − , 1) β1 , β1 3 33 3 Ta có th ch n β2 = (−1, 2, −1, 3) và cơ s tr c giao c a L là: β1 = (1, 1, 1, 0), β2 = (−1, 2, −1, 3) Tr c chu n hóa cơ s tr c giao β1 , β2 ta đư c cơ s tr c chu n c a L là: 111 1 2 1 3 e1 = ( √ , √ , √ , 0), e2 = (− √ , √ , − √ , √ ) 333 15 15 15 152. Ch ng minh các h véctơ sau là h tr c giao trong R4 . Hãy b sung chúng đ đư c m t cơ s tr c giao c a R4 a. α1 = (1, 1, 1, 1), α2 = (1, 0, −1, 0) b. α1 = (0, 0, 1, 1), α2 = (1, 1, 1 − 1) Gi i. a. Vì α1 , α2 = 0 nên α1 ⊥α2 . Đ b sung đư c m t cơ s tr c giao c a R4 , đ u tiên ta ph i b sung thêm 2 véctơ α3 , α4 c a R4 đ đư c m t cơ s c a R4 , sau đó ta tr c giao hóa cơ s đó, ta s đư c cơ s tr c giao c a R4 , ch a các véctơ α1 , α2 . Có nhi u cách ch n các véctơ α3 , α4 đ α1 , α2 , α3 , α4 là cơ s c a R4 (ch n đ đ nh th c c p 4 tương ng là khác 0). Ví d ta có th ch n α3 = (0, 0, 1, 0), α4 = (0, 0, 0, 1). Khi đó đ nh th c c p 4 tương ng c a h α1 , α2 , α3 , α4 b ng 1, nên h α1 , α2 , α3 , α4 ĐLTT nên là cơ s c a R4 . Tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , α3 , α4 . β1 = α1 α2 , β1 β2 = α2 − β1 β1 , β1 = α2 − 0.β1 = α2 α3 , β1 α3 , β2 = α3 − β1 − β3 β2 β1 , β1 β2 , β2 −1 ...