Bài toàn luồng cực đại với khả năng thông qua các cung các đỉnh

Bài toán luồng cực đại trong mạng là một trong số những bài toán tối ưu trênđồ thị tìm được những ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng thúvị trong lý thuyết tổ hợp. Bài toán được đề xuất vào đầu những năm 1950, và gắn liềnvới tên tuổi của hai nhà bác học Mỹ là Ford và Fulkerson. Bài toán luồng cực đạitrong mạng có nhiều ứng dụng trong thực tế như: Bài toán xác định cường độ dònglớn nhất của dòng vận tải giữa hai nút của một bản đồ giao thông, bài...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài toàn luồng cực đại với khả năng thông qua các cung các đỉnh Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Chương 2 BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI VỚI KHẢ NĂNG THÔNG QUA CÁC CUNG – CÁC ĐỈNH Bài toán luồng cực đại trong mạng là một trong số những bài toán tối ưu trênđồ thị tìm được những ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng thúvị trong lý thuyết tổ hợp. Bài toán được đề xuất vào đầu những năm 1950, và gắn liềnvới tên tuổi của hai nhà bác học Mỹ là Ford và Fulkerson. Bài toán luồng cực đạitrong mạng có nhiều ứng dụng trong thực tế như: Bài toán xác định cường độ dònglớn nhất của dòng vận tải giữa hai nút của một bản đồ giao thông, bài toán tìm luồngdầu lớn nhất có thể bơm từ tàu chở dầu vào bể chứa của một hệ thống đường ống dẫndầu…Ngoài ra, ứng dụng của bài toán còn để giải các bài toán như: Bài toán đámcưới vùng quê, bài toán về hệ thống đại diện chung, bài toán phân nhóm sinh hoạt,bài toán lập lịch cho hội nghị …Trong phạm vi đề tài này tôi sẽ trình bày “bài toánluồng cực đại trong mạng với khả năng thông qua các cung các đỉnh” và phải nhờthuật toán của Ford và Fulkerson để giải bài toán đặt ra và nêu một số ứng dụng củabài toán.I. PHÁT BIỂU BÀI TOÁN1.Bài toán Giả xử trong đồ thị G = (V,E), ngoài khả năng thông qua của các cung c(u,v),ở mỗi đỉnh v  V còn có khả năng thông qua của đỉnh là d(v), và đòi hỏi tổng luồngđi vào đỉnh v không còn vượt quá d(v), tức là  f ( w, v )  d ( v ) w VCần phải tìm luồng cực đại giữa s và t trong mạng như vậy. Xây dựng một mạng G’ sao cho: mỗi đỉnh v của G tương ứng với hai đỉnh v+,v- trong G’, mỗi cung (u,v) trong G ứng với cung (u,v+) trong G’, mỗi cung (v,w)trong G ứng với cung (v-,w+) trong G’. Ngoài ra, mỗi cung (v+,v-) trong G’ có khảnăng thông qua là d(v), tức là bằng khả năng thông qua của đỉnh v trong G.2. Giải quyết bài toán Từ mạng G = (V,E) khả năng thông qua các cung và các đỉnh. Ta sẽ giải quyếttheo hai bước sau: 10 Xác định mạng G’. 20 Tìm luồng cực đại trong mạng G’. Bắt đầu từ luồng zero với khả năngthông qua cung. 1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Thí dụ 1. Hình 1a cho ví dụ mạng G với khả năng thông qua ở cung và đỉnh.Hình 1b là mạng G’ tương ứng chỉ có khả năng thông qua ở các cung. u du (a) C[u,t] C[s,u] s t dt C[u,v] ds C[s,v] C[v,t] v dv u+ u- du (b) C[s,u] C[u,t] t+ t- dt s+ ds s- C[u,v] C[v,t] C[s,v] v+ v- dv Hình 1 Do luồng đi vào đỉnh v phải đi qua cung (v+,v-) với khả năng thông qua d(v), +nên luồng cực đại trong G’ sẽ bằng luồng cực đại trong G với khả năng thông quacủa các cung và đỉnh.Hai bước trên ta có thể biểu diễn dưới dạng sơ đồ thuật toán sau: 2 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Begin Mạng G Mạng G’ Luồng cực đại trên G’ End3. Ma trận biểu diễn đồ thị của bài toán luồng cực đại.3.1 Biểu diễn mạng G với khả năng thông qua các cung - đỉnh Giả sử mạng G = (V,E), |V| = n. Ta có thể biểu diễn bởi ma trận trọng số A cấpn x n như sau: di ,nếu i = j A = ( aij ) = c[i,j] ,nếu [i,j]  E ,nếu [i,j]  E 0Trong đó: di là khả năng thông qua đỉnh i; C[i,j] khả năng thông qua cung [i,j].3.2 Biểu diễn mạng G’ tương ứng với mạng G Mạng tương ứng với G = (V,E), |V | = n là mạng G’ = (V’,E’), |V’| = 2 |V |,|E’| = 2 |E | - 1. Được biểu diễn thông qua ma trận A’ cấp (2n x 2n) như sau: 0 nếu i = j A’ = ( a’ij ) = c[i,j] nếu [i,j]  E’ 3 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Thí dụ 2. Như thí dụ trên có mạng G như sau: ...