Báo cáo khoa học: Giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định tổng quát bằng ph-ơng pháp phân ly biến số

Bài báo trình bày ph-ơng phân ly biến số để giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định dạng tổng quát.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo khoa học: "Giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định tổng quát bằng ph-ơng pháp phân ly biến số" Gi¶i bμi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh tæng qu¸t b»ng ph−¬ng ph¸p ph©n ly biÕn sè ThS. NguyÔn ®øc huy Bé m«n Kü thuËt nhiÖt - §H GTVT Tãm t¾t: Bμi b¸o tr×nh bμy ph−¬ng ph©n ly biÕn sè ®Ó gi¶i bμi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh d¹ng tæng qu¸t. Summary: The article presents the separation-of-variables method of solving the problem of unsteady conduction in general form. Nh− ®· biÕt, ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cña hiÖn t−îng dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n Fourier: ∂t = a ∇2t (1) ∂τ λ - hÖ sè khuÕch t¸n nhiÖt, (m2/s);ë ®©y: a= cρ ∇2t - to¸n tö Laplace cña nhiÖt ®é, trong hÖ to¹ ®é Descartes b»ng: ∂2t ∂2t ∂2t + + ∂y 2 ∂x 2 ∂z 2 HiÖn nay, trong c¸c tµi liÖu vµ gi¸o tr×nh TruyÒn nhiÖt, viÖc gi¶i (1) chØ ®−îc thùc hiÖn trongtr−êng hîp ®¬n gi¶n nhÊt: nhiÖt ®é chØ phô thuéc mét biÕn kh«ng gian, cã nghÜa: t = f(x, τ) (2) Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng: ∂2t 1 ∂t = (3) a ∂τ ∂x 2 B»ng ph−¬ng ph¸p ph©n ly biÕn sè, coi t cã thÓ ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng tÝch cña 2 hµmsè ®éc lËp: X = X(x) vµ T = T(τ) tøc lµ: t(x, τ) = X(x).T(τ) (4)ta sÏ t×m ®−îc nghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t = (C1 cos kx + C2 sin kx) exp(- k2aτ) (5) NÕu nhiÖt ®é phô thuéc vµo 2 hay 3 biÕn kh«ng gian, cho ®Õn nay vÉn ph¶i sö dông c¸cph−¬ng ph¸p gÇn ®óng (sai ph©n h÷u h¹n, phÇn tö h÷u h¹n…) ®Ó t×m ph−¬ng tr×nh tr−êng nhiÖt ®é. Thùc ra, ph−¬ng ph¸p ph©n ly biÕn sè vÉn cã thÓ ®−îc sö dông ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh viph©n Fourier trong tr−êng hîp tæng qu¸t, khi mµ nhiÖt ®é phô thuéc c¶ 3 biÕn kh«ng gian: t = f (x, y, z, τ) (6) NhiÒu t¸c gi¶ nh− Frank Kreith & Mark S. Bohn [1], AndrÐ B. De Vriendt [2]… ®· chøngminh r»ng t cã thÓ ®−îc coi lµ tÝch cña 3 hµm: X τ = X(x, τ); Y τ = Y(y, τ); Z τ = Z(z, τ) tøc lµ: t(x, y, z, τ) = X(x, τ).Y(y, τ).Z(z, τ) (7) θ t − tL Θ= NÕu thay biÕn t b»ng nhiÖt ®é kh«ng thø nguyªn = (ë ®©y t0 vµ tL t−¬ng t0 − tL θ0øng lµ nhiÖt ®é ®Çu vµ nhiÖt ®é m«i tr−êng láng bao quanh vËt, tL = const) th× (7) ®−îc viÕt l¹ithµnh: θ( x, y, z, τ) θ( x, τ) θ(y, τ) θ(z, τ) Θ= Θ τ .Θ τ .Θ = = (8) Z, τ X, Y, θ0 θ0 θ0 θ0 θ( x, τ) θ(y, τ) θ(z, τ) Θ Θ Θ ë ®©y: = , = , = X, τ Y, τ Z, τ θ0 θ0 θ0 t−¬ng øng lµ biÕn thiªn nhiÖt ®é theo ph−¬ng x, ph−¬ng y, ph−¬ng z ë nh÷ng thêi ®iÓmkh¸c nhau. ...