Báo cáo khoa học: lập ma trận độ cứng phần tử thanh từ ma trận chuyển tiếp

Bài báo giới thiệu một cách thiết lập ma trận độ cứng của thanh và siêu thanh của ph-ơng pháp phần tử hữu hạn xuất phát từ ma trận chuyển tiếp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo khoa học: "lập ma trận độ cứng phần tử thanh từ ma trận chuyển tiếp" lËp ma trËn ®é cøng phÇn tö thanh tõ ma trËn chuyÓn tiÕp GS. Vò ®×nh lai Bé m«n Søc bÒn vËt liÖu - §H GTVT Tãm t¾t: Bμi b¸o giíi thiÖu mét c¸ch thiÕt lËp ma trËn ®é cøng cña thanh vμ siªu thanh cña ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n xuÊt ph¸t tõ ma trËn chuyÓn tiÕp. Summary: In this paper, is introduced a efficient method for founding the Stiffness Matrix of a bar or superbar in the finite element method from the transfert – matrix.i. ®Æt vÊn ®Ò Trong c¸c tµi liÖu nghiªn cøu hoÆc gi¶ng d¹y ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n (PTHH) [1, 2,3] nãi chung, ng−êi ta th−êng sö dông nguyªn lý n¨ng l−îng ®Ó lËp ma trËn ®é cøng (MT§C).Riªng ®èi víi phÇn tö thanh, ng−êi ta l¹i th−êng sö dông nh÷ng c«ng thøc s½n cã cña Søc bÒnvËt liÖu, do ®ã viÖc lËp MT§C ®−îc dÔ dµng l¹i chÝnh x¸c. Tuy nhiªn, ®èi víi phÇn tö thanh phøct¹p, thÝ dô thanh cã mÆt c¾t biÕn ®æi, thanh thµnh máng, … th× viÖc sö dông nh− thÕ l¹i kh«ngdÔ dµng. NhiÒu tr−êng hîp ng−êi ta l¹i ph¶i trë vÒ ph−¬ng ph¸p n¨ng l−îng trong ®ã hµmchuyÓn vÞ th−êng lµ hµm gÇn ®óng, lµm cho ®é cøng cña phÇn tö còng lµ gÇn ®óng. Khi ®ã bµito¸n gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p PTHH chØ ®¹t ®−îc ®é chÝnh x¸c mong muèn khi hÖ ®−îc ph©nthµnh nhiÒu phÇn tö nhá. Trong [4] tuy vÉn dïng ph−¬ng ph¸p n¨ng l−îng nh−ng c¸c t¸c gi¶ ®·sö dông hµm chuyÓn vÞ cña thanh trªn nÒn ®µn håi lµ hµm ®óng ®· ®−îc gi¶i ë m«n Søc bÒnvËt liÖu nªn ®· ®¹t ®−îc MTC§ “®óng”. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i giíi thiÖu ph−¬ng ph¸p lËp MT§C thanh hoÆc thanh d¹ng d¶iphøc t¹p dùa vµo ma trËn chuyÓn tiÕp (MTCT) cña chóng. V× MTCT rót ra tõ ph−¬ng ph¸p gi¶itÝch cña SBVL, nªn cã thÓ coi MT§C cña phÇn tö thanh hoÆc siªu thanh tÝnh theo c¸ch nµy lµchÝnh x¸c (theo nghÜa ®· ®−îc chÊp nhËn trong lý thuyÕt thanh vµ hÖ thanh). Do −u ®iÓm nµycña MT§C lËp tõ MTCT nªn trong bµi to¸n cô thÓ chiÒu dµi phÇn tö thanh hoÆc siªu thanhkh«ng bÞ h¹n chÕ mµ vÉn ®¶m b¶o ®é chÝnh x¸c.Ii. lËp mt®c thanh tõ mtct Theo lý thuyÕt tõ MTCT ta cã quan hÖ gi÷a vÐc t¬ chuyÓn vÞ – néi lùc ë 2 ®Çu thanh nh−sau (h×nh 1). {w2 W2} = LCT {w1 W1} (1)trong ®ã: {Wi} = {uξliuξ2iuξ3iϕξliϕξ2iϕξ3i}: vÐc t¬ chuyÓn vÞ t¹i nót i (i = 1, 2); {Wi} = {QξliQξ2iQξ3iMξliMξ2iMξ3i}: vÐc t¬ lùa t¹i nót i (i = 1, 2); L11 L12 L CT = : ma trËn chuyÓn tiÕp tõ nót 1 ®Õn nót 2. L 21 L 22 H×nh 1. Do vÐc t¬ lùc t¹i nót 2 cña ph−¬ng ph¸p MTCT cã ý nghÜa lµ vÐc t¬ lùc ë nót 1 ®−îc chuyÓntiÕp ®ªns ®Çu cña phÇn tö kÕ tiÕp, trong khi ®ã, ë ph−¬ng ph¸p PTHH, vÐc t¬ nµy cã ý nghÜa lµvÐc t¬ lùc ë nót cuèi cña phÇn tö ®ang xÐt (h×nh 2), v× vËy ®Ó b¶o ®¶m ý nghÜa ®· quy ®Þnh,tr−íc khi tÝnh to¸n cÇn ®æi dÊu vÐc t¬ W2 , còng tøc lµ ®æi dÊu cña c¸c phÇn tö t−¬ng øng ë ma L11 L12trËn LCT. Khi ®ã ta ®−îc MTCT theo quy −íc dÊu míi: L = . − L 21 − L 22 H×nh 2. Thay LCT ë (1) b»ng L ta viÕt ®−îc: {w 2 } = L11 {w1 } + L12 {W1} ⎫ {W2 } = −L 21 {w 1 } − L 22 {W1 }⎬ (2) ⎭ Gi¶i hÖ (2) ta rót ra: {W1} = K11 {w1} + K12{w2} {W2} = K21 {w1} + K22{w2} hay: ⎧W1 ⎫ ⎧w 1 ⎫ ⎧w 1 ⎫ K 11 K 12 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ = K⎨ ⎬ = ⎨ ⎨⎬ (3) ⎪W2 ⎪ ⎪w 2 ⎪ ⎪w 2 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩⎭ ⎩⎭ K 21 K 22 trong ®ã Kij (i, j = 1, 2) lµ nh÷ng ma trËn thµnh phÇn cña MT§C cÇn t×m: ⎫ K 11 = −L−1 L11 12 ⎪ ⎪ ...