Báo cáo nghiên cứu khoa học: Các phương pháp số để giải phương trình lan truyền xung

Tham khảo luận văn - đề án 'báo cáo nghiên cứu khoa học: "các phương pháp số để giải phương trình lan truyền xung"', luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Các phương pháp số để giải phương trình lan truyền xung" T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 tr−êng §¹i häc Vinh c¸c ph−¬ng ph¸p sè ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung §inh Xu©n Khoa , NguyÔn ViÖt H−ng , (a) (b) Bïi §×nh ThuËn , Ho ng ThÞ Hång Thanh (a) (c) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i tr×nh bµy nh÷ng c¬ së cña ph−¬ng ph¸p sè ®Ó gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung. B»ng c¸ch sö dông ph−¬ng ph¸p sè, chóng t«i kh¶o s¸t sù t−¬ng t¸c gi÷a c¸c soliton. I. Më ®Çu XuÊt ph¸t tõ ph−¬ng tr×nh Schrodinger phi tuyÕn suy réng [1]: 2 ∂U  2 ( ) ∂U i ∂ 2U ∂ 3U ∂ 2 . 2 (1) + δ 3 3 + iN U U + iS U U − τ RU =  ∂τ  ∂ξ 2 ∂τ 2 ∂τ ∂τ   trong ®ã U (ξ ,τ ) lµ hµm bao phøc cña xung, c¸c tham sè ®Æc tr−ng cho c¸c hiÖn t−îng t¸n s¾c bËc ba, tù dùng xung vµ tù dÞch chuyÓn tÇn sè t−¬ng øng lµ δ 3 , S vµ τ R . Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, viÖc t×m lêi gi¶i gi¶i tÝch cho ph−¬ng tr×nh (1) lµ rÊt khã vµ ®Õn nay vÉn ch−a thùc hiÖn ®−îc. ChØ víi mét vµi tr−êng hîp riªng ng−êi ta míi t×m ®−îc c¸c nghiÖm soliton cña nã mµ th«i. MÆt kh¸c, cÇn l−u ý r»ng ph−¬ng tr×nh (1) chØ lµ mét trong sè rÊt nhiÒu c¸c d¹ng gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung [1,2]. Khi tÝnh ®Õn c¸c sè h¹ng t¸n s¾c vµ phi tuyÕn bËc cao h¬n, ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung sÏ trë nªn rÊt phøc t¹p vµ viÖc t×m c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch chung cho c¸c ph−¬ng tr×nh nµy lµ kh«ng thÓ thùc hiÖn ®−îc. Do nh÷ng khã kh¨n ®ã, ng−êi ta ®· ¸p dông nhiÒu ph−¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó t×m c¸c lêi gi¶i gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung. Ph−¬ng ph¸p sè ®· ®−îc sö dông rÊt hiÖu qu¶ cho môc ®Ých nµy. NhiÒu t¸c gi¶ ®· ®−a ra c¸c thuËt to¸n kh¸c nhau [4, 5, 6] nh−ng vÒ nguyªn t¾c chung cã thÓ ph©n ra hai lo¹i, ®ã lµ c¸c ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n vµ c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶ phæ [7]. Ph−¬ng ph¸p gi¶ phæ dùa vµo phÐp biÕn ®æi Fourier ®Ó tÝnh gÇn ®óng c¸c ®¹o hµm riªng, do ®ã ®· chuyÓn bµi to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng vÒ bµi to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng. Trong bµi nµy chóng t«i nghiªn cøu hai thuËt to¸n quan träng ®Ó gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung theo ph−¬ng ph¸p gi¶ phæ, ®ã lµ thuËt to¸n split - step vµ Runge - Kutta bËc bèn. C¸c phÇn cßn l¹i cña bµi ®−îc bè côc nh− sau: PhÇn II tr×nh bµy nguyªn t¾c cña viÖc rêi r¹c ho¸ bµi to¸n lan truyÒn xung theo c¸c thuËt to¸n trªn, PhÇn III thùc hiÖn mét sè tÝnh to¸n ®Ó kiÓm chøng ®é chÝnh x¸c cña c¸c ph−¬ng ph¸p ®èi víi vµi tr−êng hîp ®Æc biÖt, PhÇn IV lµ c¸c kÕt luËn. NhËn bµi ngµy 02/5/2008. Söa ch÷a xong 12/6/2008. 47 §. X. Khoa, N. V. H−ng, B. §. ThuËn, H. T. H. Thanh... lan truyÒn xung, Tr. 47-53 II. C¸c ph−¬ng ph¸p sè 1. ThuËt to¸n split - step bËc hai §Çu tiªn, chóng t«i tr×nh bµy thuËt to¸n split - step ®Ó gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung. Ph−¬ng tr×nh (1) cã thÓ biÓu diÔn ë d¹ng: ∂U ( ) = L + N (U ) U , ˆˆ (2) ∂ξ ˆ ˆ trong ®ã L vµ N t−¬ng øng lµ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn t¸c dông lªn hµm bao: 2 3 ˆ i ∂ +δ ∂ L= 3 2 ∂τ 2 ∂τ 3 (3)   2 ( ) ˆ (U ) = iN 2  U 2 + iS 1 ∂ U 2U − τ U ∂ U . N  ∂τ  R U ∂τ   LÊy tÝch ph©n ph−¬ng tr×nh (2) theo biÕn ξ trong kho¶ng ξ → ξ + ξ , ta ®−îc [9]: U (ξ + ∆ξ ,τ ) = exp( A + B )U (ξ ,τ ) (4) víi: ξ + ∆ξ ξ + ∆ξ A = ∫ Ldξ ' =L ∫ dξ ' = ∆ξL ˆ ˆ ˆ ξ ξ (5) ξ + ∆ξ ∫ N (U (ξ ' ,τ ))dξ ' ≈ ∆ξN (U (ξ ,τ )) ˆ ˆ B= ξ Khi kho¶ng chia ξ cña qu·ng ®−êng lan truyÒn lµ ®ñ nhá, sö dông c«ng thøc Baker - Campbell - Hausdorff cho to¸n tö hµm mò trong (4) chóng ta cã thÓ biÓu diÔn d¹ng gÇn ®óng cña nã nh− sau [2, 3, 6]:  A  A ...