Báo cáo nghiên cứu khoa học: Đặc trưng cấp hai của hàm véc tơ lồi

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu của trường đại học Huế đề tài: Đặc trưng cấp hai của hàm véc tơ lồi...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đặc trưng cấp hai của hàm véc tơ lồi"T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 59, 2010 Đ C TRƯNG C P HAI C A HÀM VÉC TƠ L I Phan Nh t Tĩnh, Trư ng Đ i h c Khoa h c, Đ i h c Hu Tóm t t. Trong bài báo này, chúng tôi gi i thi u m t khái ni m m i vcác ánh x C -xác đ nh và ch ng minh r ng m t hàm véctơ hai l n kh vi liênt c là l i theo nón C n u và ch n u vi phân c p hai c a nó là C -xác đ nh. K tqu này m r ng k t qu đã bi t v đ c trưng c p hai c a các hàm l i tronggi i tích c đi n. 1. Gi i thi u và m t s ki n th c chu n b G n đây, l p hàm véc tơ l i đã thu hút đư c s quan tâm c a nhi u nhàtoán h c vì c u trúc đ c bi t cũng như nh ng ng d ng c a chúng trong t iưu véc tơ (xem [1-7]). M t trong nh ng v n đ ngư i ta quan tâm khi kh osát l p hàm này là các đ c trưng c a chúng. Trong các công trình [6,7], cácđ c trưng c a tính l i c a hàm véc tơ đư c bi u hi n qua các tính ch t đơnđi u c a đ o hàm theo hư ng và vi phân c a chúng đã đư c nghiên c u khák lư ng. Tuy nhiên các k t qu liên quan đ n m i quan h c a hàm véc tơl i v i các tính ch t đ c thù c a vi phân c p hai c a chúng còn h t s c sơsài. M c đích c a bài báo này nh m thi t l p m i quan h đó mà khi đưa vtrư ng h p vô hư ng, thu l i đư c các k t qu c đi n v ch đ này trong gi itích l i. Ta nh c l i r ng m t t p không r ng C ⊂ Rm đư c g i là nón n u tc ∈ C, ∀c ∈ C, t ≥ 0. M t nón C ⊂ Rm xác đ nh trên Rm m t th t đ nh nghĩa b i y ⇔ y − x ∈ C. x M t hàm véc tơ f t m t t p con l i không r ng D ⊂ Rn vào Rm đư c g ilà l i (tương ng v i C ) n u v i m i x, y ∈ D, x = y, λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y ) λf (x) + (1 − λ)f (y ). Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n, ta kí hi u b i L(X, Y ) là khônggian các ánh x tuy n tính liên t c t X vào Y . Chu n trên không gian L(X, Y )xác đ nh b i A ∈ L(X, Y ), A := sup{ A(x) |x ∈ X, x ≤ 1}. 127Đ nh nghĩa 1.1. M t toán t F : D ⊂ Rn → L(Rn , Rm ) đư c g i là đơn đi u(tương ng v i C ) n u (F (x) − F (y ))(x − y ) ∈ C, ∀x, y ∈ D. Cho D ⊆ Rn là m t t p m không r ng, x ∈ D và f : D → Rm là m thàm véc tơ kh vi t i x. Ta kí hi u vi phân c a f t i x là Df (x). Gi sf kh vi t i m i x ∈ D, khi đó ta có th kh o sát tính kh vi c a ánh xDf : D → L(Rn , Rm ). N u Df kh vi t i x ∈ D thì ta nói f kh vi c p hait i x và kí hi u vi phân c a Df t i x là D2 f (x). Khi Df kh vi t i m i x ∈ Dthì ta đư c ánh x vi phân c p hai D2 f : D → L(Rn , L(Rn , Rm )). Ta nói fhai l n kh vi liên t c n u f kh vi c p hai t i m i x ∈ D và ánh x D2 f làliên t c. Trong đ nh lý sau, nón th t C đư c gi thi t là l i, đóng.Đ nh lý 1.2.([6, Theorem 3.5]) Gi s D ⊂ Rn là m t t p l i m không r ngvà f : D → Rm là m t hàm kh vi trên D. Lúc đó, f là l i khi và ch khi Dflà m t toán t đơn đi u trên D. 2. Đ c trưng c p hai c a hàm véc tơ l i Trong m c này, không gian Rm đư c gi s là đư c s p th t b i m t nónC l i, đóng. Cho A ∈ L(Rn , L(Rn , Rm )). V i m i x, y ∈ Rn , kí hi u A(x, y ) := [A(x)](y ).Đ nh nghĩa 2.1.Ta nói ánh x A ∈ L(Rn , L(Rn , Rm )) là C −xác đ nh n u A(x, x) ∈ C, ∀x ∈ Rn .Cho D ⊆ Rn là m t t p không r ng. M t ánh x F : D → L(Rn , L(Rn , Rm ))g i là C − xác đ nh n u F (x) là C −xác đ nh v i m i x ∈ D. Ta th y ngay r ng khi m=1 và C = R+ thì A là C −xác đ nh khi và chkhi ma tr n bi u di n A là n a xác đ nh dương.Đ nh lý 2.2. Cho D ⊆ Rn là m t t p l i m không r ng và F : D → L(Rn , Rm )là m t ánh x kh vi liên t c trên D. Khi đó, F đơn đi u n u và ch n u DFlà C −xác đ nh.Ch ng minh. ⇒ : Gi s ngư c l i DF không C −xác đ nh trên D. Khi đó cóx0 ∈ D, y0 ∈ Rn sao cho DF (x0 )(y0 , y0 ) ∈ C. / (1)Đ t φ(t) = DF (x0 + ty0 )(y0 , y0 ). Do DF liên t c trong m t lân c n c a x0 nênφ cũng liên t c trong m t lân c n c a 0, thêm vào đó C đóng và (1), suy rat n t i > 0 sao cho φ(t) ∈ C, ∀t ∈ [0, ]. / (2) 128Đ t Φ(t) = F (x0 + ty0 )(y0 ). Khi đó Φ(t) kh vi trong m t lân c n c a [0, ]nên áp d ng đ nh lý giá tr trung bình, ta tìm đư c τ ∈ (0, ) sao cho Φ( ) − Φ(0) = DΦ(τ )( ). (3)Xét các ánh x sau ψ : t → x0 + ty0 , ϕ : A ∈ L(Rn , Rm ) → A(y0 ).Khi đó Φ = ϕ ◦ F ◦ ψ.Dùng công th c dây chuy n, ta xác đ nh đư c DΦ(τ )( ) = DF (x0 + τ y0 )(y0 , y0 ) = φ(τ ). (4)T (2), (3) và (4) suy ra (F (x0 + y0 ) − F ...