Báo cáo nghiên cứu khoa học: Đánh giá tính ổn định nghiệm cuả bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2008 tác giả: 2. Nguyễn Văn Đức, Đánh giá tính ổn định nghiệm cuả bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đánh giá tính ổn định nghiệm cuả bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian" ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cu¶ bµi to¸n Cauchy cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian NguyÔn V¨n §øc (a) older cho nghiÖm ¨ Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng H cña bµi to¸n Cauchy cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian d¹ng ∂2u   ∂u = a(t) 2 , (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1), ∂t ∂x u(x, 1) = ϕ(x). më ®Çu 1. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng Holder ®èi víi nghiÖm ¨cu¶ bµi to¸n Cauchy cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian ∂2u   ∂u = a(t) 2 , (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1),(1.1) ∂t ∂x u(x, 1) = ϕ(x). Bµi to¸n (1.1) thêng xuyªn b¾t gÆp trong øng dông (xem [1], [2]) vµ nã thuéc lípbµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh; cã nghÜa lµ mét sai sè dï nhá trong d÷ kiÖn ϕ(x) còng cã thÓdÉn ®Õn mét sai sè rÊt lín cña nghiÖm hoÆc thËm chÝ lµm cho ph¬ng tr×nh trë nªn v«nghiÖm. ChÝnh v× vËy, vÊn ®Ò ®Çu tiªn khi nghiªn cøu c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh lµviÖc t×m c¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm. C¸c ®¸nh gi¸ nµy cho ta biÕt ®îc bµito¸n xÊu ®Õn møc nµo, ®Ó tõ ®ã cã thÓ ®a ra c¸c ph¬ng ph¸p sè h÷u hiÖu. Ngoµira, c¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh còng rÊt quan träng trong viÖc chøng minh sù héi tô vµc¸c ®¸nh gi¸ sai sè cña c¸c ph¬ng ph¸p chØnh khi gi¶i bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. §Ó®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh ngêi ta thêng bæ sungc¸c th«ng tin cã ý nghÜa vÒ ph¬ng diÖn vËt lý cho nghiÖm, sau ®ã míi ®¸nh gi¸ tÝnhæn ®Þnh trong líp nghiÖm thu hÑp nµy. §èi víi ph¬ng tr×nh võa ®îc ®Ò cËp ë trªn,th«ng tin vÒ nghiÖm cã thÓ chÊp nhËn ®îc ®ã lµ tån t¹i mét h»ng sè d¬ng sao cho E 1 +∞ 2 u2 (x, 0)dx u(·, 0) := E. −∞Gi¶ thiÕt nµy nãi lªn r»ng nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu lµ giíi néi. 1 NhËn bµi ngµy 20/8/2008. Söa ch÷a xong 17/10/2008. u(·, 0) 1. u(x, t) U E, E Mét hµm ®îc gäi lµ thuéc vµo tËp nÕu víi§Þnh nghÜalµ mét h»ng sè d¬ng cho tríc. Khi nghiÖm cña (1.1) ®îc h¹n chÕ trong tËp võa ®îc ®Þnh nghÜa ë trªn th× ta Ucã thÓ ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña nã. C¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm choph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian thêng chØ ®¹t ®îc cho bµi to¸n hçn hîpvíi hÖ sè h»ng sè hoÆc hÖ sè chØ phô thuéc vµo biÕn kh«ng gian, rÊt Ýt kÕt qu¶ cho bµito¸n Cauchy, ®Æc biÖt trong trêng hîp hÖ sè cña ph¬ng tr×nh phô thuéc thêi gian.V× vËy, trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®¸nh gi¸ cho trêng hîp hÖ sè cña ph¬ng tr×nhcã d¹ng a(t) phô thuéc vµo biÕn thêi gian. KÕt qu¶ bæ trî 2. Tríc hÕt, chóng t«i nªu ra c¸c kÕt qu¶ bæ trî sau 11 1 (BÊt ®¼ng thøc Holder). ¨ p > 1, q > 1 lµ c¸c sè thùc tháa m·n + = 1. Gi¶ söBæ ®Ò pq f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R) th× f g ∈ L1 (R) vµ f g f g q.N ...