Báo cáo nghiên cứu khoa học: Đánh giá tính ổn định và chỉnh hóa nghiệm của phương trình truyền nhiệt ngược thời gian

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 2. Nguyễn Văn Đức, Phan Thị Quỳnh Như, Đánh giá tính ổn định và chỉnh hóa nghiệm của phương trình truyền nhiệt ngược thời gian.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đánh giá tính ổn định và chỉnh hóa nghiệm của phương trình truyền nhiệt ngược thời gian" ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh vµ chØnh hãa nghiÖm cña ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian NguyÔn V¨n §øc (a) , Phan ThÞ Quúnh Nh (b) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng Holder vµ chØnh ¨ hãa nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian d¹ng  ∂2u  ∂u = a 2 (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1), ∂t ∂x  u(·, 1) − ϕ(·) ε, víi rµng buéc u(·, 0) E , trong ®ã ϕ(·) ∈ L2 (R) vµ c¸c h»ng sè E > ε > 0, H s (R) s 0, a > 0 ®· biÕt. 1. më ®Çu Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng Holder vµ chØnh hãa ¨cho nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian  ∂2u  ∂u = a 2 (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1), (1.1) ∂t ∂x  u(·, 1) − ϕ(·) ε,víi rµng buéc u(·, 0) E, (1.2) H s (R)trong ®ã lµ chuÈn trªn kh«ng gian L2 (R) vµ trªn kh«ng gian Sobolev ·,· H s (R)H s (R)(s 0) t¬ng øng. Chóng t«i gi¶ thiÕt r»ng nghiÖm cña bµi to¸n (1.1) thuéc kh«ng gian L2 (R) theobiÕn x, nghÜa lµ, nÕu u(x, t), (x, t) ∈ (−∞; +∞) × [0; 1] lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1.1) th×u(x, t) ∈ L2 (R) víi mäi t ∈ [0, 1]. Bµi to¸n (1.1)−(1.2) thêng xuyªn gÆp trong nhiÒu øng dông (xem [1], [2]) vµ nãthuéc líp bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. Do ®ã c¸c vÊn ®Ò ®¸nh gi¸ æn ®Þnh vµ chØnh hãanghiÖm cña bµi to¸n (1.1)−(1.2) cÇn ®îc quan t©m nghiªn cøu. §¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian tõtríc tíi nay thêng chØ ®¹t ®îc cho trêng hîp s = 0 (khi s = 0 th× H s (R) = H 0 (R) =L2 (R)). Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®a ra c¸c ®¸nh gi¸ æn ®Þnh nghiÖm cho bµi to¸nCauchy víi mäi gi¸ trÞ cña s tháa m·n s 0. NhËn bµi ngµy 11/12/2009. Söa ch÷a xong 25/02/2010. 1 Trong viÖc chØnh hãa, chóng t«i sö dông nghiÖm v(x, t) ∈ L2 (R) víi mäi t ∈ [0; 1 + β ]cña bµi to¸n gi¸ trÞ biªn kh«ng ®Þa ph¬ng ®Æt chØnh  ∂2v  ∂v = a 2 (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1 + β ), (1.3) ∂t ∂x αv (x, 0) + v (x, 1 + β ) = ϕ(x), x ∈ (−∞; +∞), α > 0, β > 0®Ó lµm nghiÖm xÊp xØ cho bµi to¸n (1.1)−(1.2). C¸c ph¬ng ph¸p chän tham sè tiªnnghiÖm vµ hËu nghiÖm ®îc ®Ò xuÊt nh»m nhËn ®îc c¸c ®¸nh gi¸ sai sè d¹ng Holder ¨cho nghiÖm cña bµi to¸n víi mäi t ∈ (0, 1] vµ mét sù phô thuéc liªn tôc d¹ng logarithmcña nã t¹i t = 0 khi ®iÒu kiÖn (1.2) ®îc tháa m·n víi s > 0. 2. KÕt qu¶ bæ trî Tríc hÕt, chóng t«i nªu ra c¸c kÕt qu¶ bæ trî sauBæ ®Ò 2.1 (BÊt ®¼ng thøc Holder [4]). Gi¶ sö p > 1, q > 1 lµ c¸c sè thùc tháa m·n ¨11+ = 1. NÕu f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R) th× f g ∈ L1 (R) vµ f g 1 f g q. ppq§Þnh nghÜa 2.1 (§Þnh nghÜa biÕn ®æi Fourier trong L1 (R) [4]). BiÕn ®æi Fourier cñaf ∈ L1 (R) lµ +∞ 1 e−ix.ξ f (x)dx f (ξ ) := √ (y ∈ R) 2π −∞vµ biÕn ®æi Fourier ngîc cña f lµ +∞ 1 f ∨ (ξ ) := √ eix.ξ f (x)dx (y ∈ R). 2π −∞Bæ ®Ò 2.2 (§¼ng thøc Parseval [4]). NÕu f th× f , f ∨ vµ ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) ∈ L2 (R) . f = f = f∨§Þnh nghÜa 2.2 (§Þnh nghÜa biÕn ®æi Fouri ...