Báo cáo nghiên cứu khoa học DUNG LƯỢNG VÀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ GIẢI TÍCH

Khái niệm ánh xạ đa trị giải tích lần đầu tiên được đưa ra bởi Oka vào năm 1934 khi tổng quát hóa một định lý của Hartogs. Sau đó, Nishino và Yamaguchi đã đưa ra những phép chứng minh về các kết quả của Oka và mở rộng chúng. Năm 1981, trong một hoàn cảnh khác, Slodkowski đã nghiên cứu các ánh xạ đa trị giải tích và dùng các tính chất của chúng để giải quyết các vấn đề trong đại số Banach và đại số đều, đồng thời ông cũng đưa ra một số đặc...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học " DUNG LƯỢNG VÀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ GIẢI TÍCH " DUNG LƯỢNG VÀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ GIẢI TÍCH Bành Đức Dũng Trường Đại học Giao thông Vận tải tp.Hồ Chí Minh Khái niệm ánh xạ đa trị giải tích lần đầu tiên được đưa ra bởi Oka vào năm1934 khi tổng quát hóa một định lý của Hartogs. Sau đó, Nishino và Yamaguchiđã đưa ra những phép chứng minh về các kết quả của Oka và mở rộng chúng.Năm 1981, trong một hoàn cảnh khác, Slodkowski đã nghiên cứu các ánh xạ đatrị giải tích và dùng các tính chất của chúng để giải quyết các vấn đề trong đại sốBanach và đại số đều, đồng thời ông cũng đưa ra một số đặc trưng mới cho cácánh xạ đa trị giải tích và tổng quát hóa cho trường hợp nhiều chiều (xem [4]). Trong bài viết này, kết quả đầu tiên mà chúng tôi muốn giới thiệu (định lý3) là sự tổng quát hóa một định lý của Aupetit (xem [3]) về mối quan hệ giữa cácánh xạ đa trị giải tích và dung lượng các ảnh của nó. Các ánh xạ đa trị hữu hạn códạng “đại số” (các ánh xạ mà ảnh của nó tại mỗi điểm là tập không điểm của mộtđa thức với hệ số thích hợp) cũng giải tích và đã được sử dụng nhiều khi xét cácánh xạ đa trị giải tích (trong trường hợp một biến phức, xem [1]). Một câu hỏi đặtra là, ngược lại, một ánh xạ đa trị giải tích hữu hạn có thể biểu diễn được dướidạng “đại số“ hay không và điều này có còn đúng cho trường hợp nhiều biếnkhông? Định lý 4 cho một câu trả lời khẳng định về vấn đề này. Trước hết, chúng ta nhắc lại một vài kí hiệu cơ bản. Cho X và Y là các không gian metric. Kí hiệu 21 P (Y) = {các tập con của Y}, Fc (Y) = {các tập con compact khác rỗng của Y}, Ff (Y) = {các tập con hữu hạn khác rỗng của Y}. Một ánh xạ S : X  P (Y) cũng được gọi là một ánh xạ đa trị. Với A  X, B  Y, ta thường viết S –1 (B) = {x  X : S (x)  B}, S (A) =  {S (x) : x  A},  (S) = { (x, y)  X  Y : y  S (x)} ( còn được viết là S). Định nghĩa 1: Anh xạ K: X  Fc (Y) ®ược gọi là nửa liên tục trên nếu vớimọi U mở trong Y thì S -1 (U) mở trong X. Định nghĩa 2: Cho G mở trong Cn và K: G  Fc (Ck) là nửa liên tục trên. Kđược gọi là giải tích nếu và chỉ nếu với mọi G’ mở trong G, với mọi hàm  đađiều hòa dưới trên một lân cận của K ( K là đồ thị của KG’), hàm  xác định G Gbởi  () = sup { (, z) : z K ()}là đa điều hòa dưới trên G’. Giả sử G là một miền trong Cn, ta có các định lý sau đây. Định lý 3. Cho K : G  Fc (Ck) là đa trị giải tích. Khi đó 22  i) hoặc tập E = {  G :  K () < } có C 2 n 2 ( E )  0 ; ii) hoặc tồn tại một số nguyên r sao cho với mọi   G thì  K ()  r và tập E’ = {  G :  K () < r} có C2 n2 ( E )  0 . Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh cho trường hợp k = 1. Giả sử (i)không xảy ra, nghĩa là tập  E = {  G :  K () < } có C 2 n 2 ( E )  0 . Khi đó, tồn tại số nguyên r  1 sao cho  Er = {  G :  K ()  r } có C 2 n 2 ( E r )  0 . Do đó, với mỗi   G thì  K ( )  r nên r (K ()) = 0 trên Er và do đó,logr(K ()) = - trên Er. Tương tự (trường hợp nhiều chiều) của định lí Cartan(xem [1]), ta suy ra logr(K ( )) = - trên G, nghĩa la  K ()  r, với mọi  G. Đặt r = sup { K () :   G }. Ta sẽ chứng minh r là số cần tìm. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại một số r ’  r sao cho C 2 n 2 ( E r )  0 với Er’ = { G :  K ()  r ’}. Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên, ta lại có  K ()  r’ với mọi   G. Điều này là mâu thuẫn với sup { K () :   G}. Như vậy,trường hợp k = 1 đã được chứng minh.  Trong trường hợp k bất kì, ta vẫn giả sử rằng C 2 n 2 ( E )  0 với E = {  G: K () < }. Gọi  i là phép chiếu thứ i trên Ck. Khi đó, ánh xạ K i =  i  K làđa trị giải tích trên G, i = 1, 2, .., k. Mặt khác ta có 23 E = {   G :  K ( ) <  } =  {  G :  K i () < , i = 1, 2, .., k}.  Do đó C 2 n 2 ( E i )  0 với E i = {  G :  K i () < }. Theo trên, định lýđã đúng với k = 1 nên với mỗi i = 1, 2, .., k tồn tại số ri  1 sao cho  K i ()  ri  ivới mọ ...