Báo cáo nghiên cứu khoa học: Hệ phân hoạch hoàn toàn không gian RN

Nh ng h vec-tơ như v y thư ng g p trong bài toán bù tuy n tính và vi c nghiên c u chúng có th mang l i m t công c nghiên c u hi u qu bài toán bù. T
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Hệ phân hoạch hoàn toàn không gian RN"T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 53, 2009 PHÂN HO CH HOÀN TOÀN KHÔNG GIAN RN H Huỳnh Th Phùng Trư ng Đ i h c Khoa h c, Đ i h c Hu TÓM T T M t phân ho ch hoàn toàn c a Rn là m t h g m 2n vec-tơ U = u1,0 , u1,1 , u2,0 , u2,1 , · · · , un,0 , un,1 ⊆ Rnsao cho, v i m i x ∈ Rn t n t i duy nh t vec-tơ λ tho mãn λ = (λ1,0 , λ1,1 , · · · , λn,0 , λn,1 )T ∈ R2n , λi,s ≥ 0, (i, s) ∈ I × S, λi,0 .λi,1 = 0, i ∈ I, λi,s ui,s x= (i,s)∈I ×S đây I := {1, 2, · · · , n}, và S := {0, 1}. Nh ng h vec-tơ như v y thư ng g p trong bài toán bù tuy n tính và vi c nghiên c u chúngcó th mang l i m t công c nghiên c u hi u qu bài toán bù. Trong bài này chúng tôi s thi tl p m t đ c trưng cơ b n c a h phân ho ch không gian Rn và m t vài ng d ng tr c ti p c anó trong vi c kh o sát s nghi m c a bài toán bù.1 M đu Cho U là m t h g m 2n vec-tơ trong không gian Rn : U = u1,0 , u1,1 , u2,0 , u2,1 , · · · , un,0 , un,1 . (1.1) Đ thu n ti n ta cũng xem U như m t ma tr n th c c p n × 2n. U đư c g i là m t phânho ch hoàn toàn cu không gian n u v i m i x ∈ Rn t n t i duy nh t m t vec-tơ λ tho mãn  λ = (λ1,0 , λ1,1 , · · · , λn,0 , λn,1 )T ∈ R2n ,    i,s λ ≥ 0, (i, s) ∈ I × S, (1.2) λi,0 .λi,1 = 0, i ∈ I,   i,s i,s  x = U λ = (i,s)∈I ×S λ u , đây I := {1, 2, · · · , n}, và S := {0, 1}. Lúc đó ta nói x đư c bi u di n dư i d ng m t t h pbù c a U . V y U là m t phân ho ch hoàn toàn c a không gian n u m i vec-tơ x ∈ Rn đ uđư c bi u di n m t cách duy nh t dư i d ng t h p bù c a U . 65 V i m i t p con α c a I ta thi t l p ma tr n U (α) ∈ Rn×n , g i là ma tr n bù c a U tương ng v i α, mà vec-tơ c t th i c a nó đư c xác đ nh b i ui,0 , i ∈ α, U (α)i = (1.3) ui,1 , i ∈ I α. Ký hi u M(U ) = {U (α) | α ⊆ I }. Rõ ràng, |M(U )| = 2n . Hai t p con α và β c a I đư cg i là k nhau t i r ∈ I n u (α ∪ β ) (α ∩ β ) = {r}. Trong trư ng h p đó ta cũng nói U (α) vàU (β ) là k nhau t i c t th r. Hi n nhiên lúc đó, U (α)i = U (β )i , i ∈ I {r } , {U (α)r , U (β )r } = ur,0 , ur,1 . K t qu chính c a bài này là đ nh lý sauĐ nh lý 1.1. Ba phát bi u sau là tương đương a. U là m t phân ho ch hoàn toàn c a Rn , b. V i m i c p ma tr n bù U (α), U (β ), ta có det(U (α)). det(U (β )) < 0. (1.4) c. V i m i λ = (λ1,0 , λ1,1 , λ2,0 , λ2,1 , · · · , λn,0 , λn,1 )T ∈ R2n tho mãn λi,0 .λi,1 ≥ 0, λi,0 + λi,1 = 0, i ∈ I, (1.5) h λi,0 .ui,0 − λi,1 .ui,1 | i ∈ I (1.6) đ c l p tuy n tính. Ch ng minh Đ nh lý 1.1 s đư c trình bày trong m c ti p theo còn m c cu i cùng dànhcho vi c nghiên c u s nghi m c a bài toán bù tuy n tính b ng cách s d ng đ c trưng c a hphân ho ch.2 Ch ng minh Đ nh lý 1.1Nh n xét 2.1. N u m t trong các phát bi u c a Đ nh lý 1.1 tho mãn thì U (α) không suy bi nv i m i α ⊆ I.Ch ng minh Đ nh lý 1.1. (a ⇒ b) Không m t tính t ng quát ta có th gi s r ng α = {1, 2, · · · , r − 1} và β =α ∪ {r}. Như v y U (α) = [u1,0 , u2,0 , · · · , u(r−1),0 , ur,1 , u(r+1),1 · · · , un,1 ]; 66 U (β ) = [u1,0 , u2,0 , · · · , u(r−1),0 , ur,0 , u(r+1),1 , · · · , un,1 ]. Đ t t := U (β )−1 ur,1 ta có r ...