Báo cáo nghiên cứu khoa học: Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 6. Nguyễn Văn Quảng, Nguyễn Trần Thuận, Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều" LuËt m¹nh sè lín cho m¶ng phï hîp c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn trong kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu NguyÔn V¨n Qu¶ng (a) , NguyÔn TrÇn ThuËn (b) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i nghiªn cøu luËt m¹nh sè lín cho m¶ng phï hîp c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn trong kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu. Mét sè kÕt qu¶ chóng t«i ®−a ra lµ tæng qu¸t h¬n c¸c kÕt qu¶ tr−íc ®ã.1 Më ®Çu N¨m 1973, Smythe [8] ® thu ®−îc luËt m¹nh sè lín Kolmogorov cho m¶ngnhiÒu chØ sè c¸c biÕn ngÉu nhiªn. LuËt sè lín Marcinkiewicz-Zygmund ®èi víi m¶ngnhiÒu chiÒu ®−îc Gut [2], Klesov [3],... thiÕt lËp. N¨m 2005, L. V. Thanh [9] ® mëréng LuËt m¹nh sè lín Kolmogorov cho m¶ng hai chiÒu c¸c biÕn ngÉu nhiªn (nhËngi¸ trÞ thùc) trong tr−êng hîp kh«ng cïng ph©n phèi. LuËt m¹nh sè lín cho m¶ng haichØ sè c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian Banach Rademacher d¹ngp ® ®−îc A. Rosalsky vµ L. V. Thanh nghiªn cøu trong [6] vµ [7]. Tuy nhiªn c¸c kÕtqu¶ trªn chØ xÐt cho m¶ng nhiÒu chiÒu c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn ®éc lËp k× väng kh«ng.B»ng viÖc giíi thiÖu kh¸i niÖm m¶ng phï hîp vµ m¶ng c¸c hiÖu martingale, chóngt«i ® thiÕt lËp ®−îc luËt m¹nh sè lín cho m¶ng phï hîp - mét d¹ng më réng cñaLuËt m¹nh sè lín Kolmogorov - vµ luËt m¹nh sè lín kiÓu Marcinkiewicz-Zygmundcho m¶ng phï hîp c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn. Trong bµi b¸o nµy, ta lu«n gi¶ sö (Ω, F , P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ cè®Þnh. Víi a, b ∈ R, max{a, b} vµ min{a, b} ®−îc kÝ hiÖu lÇn l−ît lµ a ∨ b vµ a ∧ b. KÝ hiÖuC lµ mét h»ng sè d−¬ng, nh−ng h»ng sè ®ã kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i gièng nhau trongc¸c lÇn xuÊt hiÖn. KÝ hiÖu log chØ logarit c¬ sè 2 vµ log+ x = log(1 ∨ x). Víi x 0, kÝhiÖu [x] lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng v−ît qu¸ x.§Þnh nghÜa 1.1. Kh«ng gian Banach kh¶ li X ®−îc gäi lµ kh«ng gian Banach p-tr¬n®Òu (1 p 2) nÕu x+y + x−y Cτ p − 1; ∀ x, y ∈ X ; ρ(τ ) = sup x = 1, y = τ 2víi C lµ mét h»ng sè nµo ®ã. VÝ dô. Mäi kh«ng gian Hillbert thùc, kh¶ li lµ kh«ng gian Banach 2-tr¬n ®Òu. C¸ckh«ng gian p , Lp víi 1 < p < ∞ lµ c¸c kh«ng gian p ∧ 2-tr¬n ®Òu. §Þnh lý sau ®©y cña Assouad ®−a ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét kh«ng gian Banachkh¶ li X lµ kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu.§Þnh lý 1.2. (Assouad [10]) Kh«ng gian Banach kh¶ li X lµ p-tr¬n ®Òu (1 p 2) nÕuvµ chØ nÕu víi mäi q 1, tån t¹i h»ng sè C > 0 sao cho víi mäi martingale {Sn , Fn , n 1}nhËn gi¸ trÞ trªn X ®Òu cã n p q /p q Si − Si−1 ∀n ∈ N. E Sn CE , (1.1) i=1 (BÊt ®¼ng thøc Marcinkiewicz - Zygmund) 1 NhËn bµi ngµy 01/6/2009. Söa ch÷a xong 05/8/2009.§Þnh lý 1.3. (Assouad, Hoffmann Jφrgensen [10]) Kh«ng gian Banach thùc X lµ p-tr¬n ®Òu (1 p 2) khi vµ chØ khi tån t¹i sè d−¬ng L sao cho víi mäi x, y ∈ X , tacã p p p + L y p. + x−y x+y 2x (1.2) Cho (Ω, F , P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, X lµ kh«ng gian Banach kh¶ li vµ B(X ) lµσ -®¹i sè tÊt c¶ c¸c tËp Borel trong X . Cho m¶ng hai chiÒu {Fmn , m 1, n 1} c¸c σ -®¹isè con cña F víi chØ sè trong N × N. Khi ®ã m¶ng hai chiÒu {Xmn , Fmn , m 1, n 1}®−îc gäi lµ m¶ng phï hîp nÕu tháa m n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1. Xmn lµ Fmn /B(X ) ®o ®−îc. 2. Víi mçi n ∈ N vµ m2 > m1 th× Fm1 n ⊂ Fm2 n , víi mçi m ∈ N vµ n2 > n1 th× Fmn1 ⊂ Fmn2 .Chó ý r»ng ®Þnh nghÜa m¶ng phï hîp ë ®©y cña chóng t«i kh¸c víi ®Þnh nghÜa m¶ngphï hîp ® ®−îc nªu trong [4] vµ [5]. Trong c¸c ®Þnh nghÜa ®ã, kh¸i niÖm m¶ng phïhîp ®−îc x©y dùng dùa trªn quan hÖ thø tù tÇn sè trªn N2 . ∗KÝ hiÖu Fmn = σ (Fm−1 ∞ F∞ n−1 ) víi F∞n = σ ( m 1 Fmn ) vµ Fm∞ = σ ( n 1 Fmn ). Taquy −íc r»ng F0∞ = F∞0 = {∅, Ω}.Mét m¶ng phï hîp {Xmn , Fmn ; m 1, n 1} ®−îc gäi lµ m¶ng c¸c hiÖu martingale nÕu ∗ E{Xmn |Fmn } = 0 hÇu ch¾c ch¾n (h.c.c) ∀m, n ∈ N. VÝ dô sau ®©y cho chóng ta thÊy ®−îc sù tån t¹i cña kh¸i niÖm m¶ng c¸c hiÖumartingale.VÝ dô 1. Cho {Xmn , m 1, n 1} lµ m¶ng c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn ®éc lËp cã k× väng 0. ...