Báo cáo nghiên cứu khoa học: Một lớp bài toán đầu tư tài chính

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 8. Trần Xuân Sinh, Nguyễn Thị Thanh Hiền, Nguyễn Văn Hưng, Một lớp bài toán đầu tư tài chính.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một lớp bài toán đầu tư tài chính" Mét líp bµi to¸n ®Çu t− tµi chÝnh TrÇn Xu©n Sinh (a) , NguyÔn ThÞ Thanh HiÒn (a) NguyÔn V¨n H−ng (b) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i giíi thiÖu mét m« h×nh bµi to¸n ®Çu t− tµi chÝnh mµ viÖc gi¶i nã ®−îc quy vÒ bµi to¸n chiÕc tói víi rµng buéc ngÉu nhiªn. Tõ ®ã chóng t«i x©y dùng thuËt to¸n nh»m t×m ra ph−¬ng ¸n tèi −u. I. B i to¸n Mét nhµ ®Çu t− cã b ®¬n vÞ ®ång vèn, dù ®Þnh tham gia ®Çu t− vµo n c«ng ty kinhdoanh (ta gäi c«ng ty thø i lµ C«ng ty i, i = 1, ..., n). NÕu ®Çu t− 1 ®¬n vÞ ®ång vèn vµoC«ng ty i th× cho l i suÊt lµ ci vµ chi phÝ ph¶i tr¶ lµ ai . Hái nªn ®Çu t− vèn nh− thÕnµo ®Ó cã tæng sè l i lín nhÊt. §Ó thiÕt lËp m« h×nh to¸n häc, ta ký hiÖu I = {1, 2, ..., n} vµ xi , i ∈ I, lµ sù lùa chäncña Nhµ ®Çu t− vµo C«ng ty i (xi = 1 nÕu C«ng ty i ®−îc lùa chän ®Çu t−, cßn xi = 0lµ C«ng ty i kh«ng ®−îc lùa chän ®Çu t−). Khi ®ã ta cã bµi to¸n max{f = c.x} (1)víi ®iÒu kiÖn ai xi b, (2) i∈ I x ∈ {0; 1}n , (3)trong ®ã c = (ci ), x = (xi ), c.x = i∈I ci xi . M« h×nh bµi to¸n nh− trªn, trïng víi m« h×nh bµi to¸n chiÕc tói cæ ®iÓn, cã thÓgi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p quy ho¹ch ®éng (xem [2]). Víi mçi sè nguyªn k vµ h, (k = 1, n, h = 0, b), ta ®Æt k k h; xi ∈ {0; 1}, i = 1, k (∗). Fk (h) = max ci xi : ai xi i=1 i=1§iÒu ®ã cã nghÜa r»ng Fk (h) lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm f khi c¸c ®å vËt ®−îc chäntõ k lÇn ®Çu tiªn vµ träng l−îng cña c¸i tói lµ h. Víi k = 1, ta cã F1 (h) = max {c1 x1 } = c1 .1 = c1 ; h = 0, b. x1 ∈{0;1} 1) NhËn bµi ngµy 28/05/2009. Söa ch÷a xong ngµy 24/07/2009 §èi víi k = 2, n; h = 0, b, c«ng thøc (*) cã thÓ viÕt l¹i k−1 k h − ak xk ; xi ∈ {0; 1}, i = 1, k . Fk (h) = max ci xi : ai xi i=1 i=1 Khi ®ã ta cã k−1 Fk (h) = max ck xk + max ci xi , xk ∈{0;1} xi ∈{0;1} i=1víi ®iÒu kiÖn k −1 h − ak xk ; xi ∈ {0; 1}, i = 1, k. ai xi i=1Tõ ®ã ta ®−îc Fk (h) = max {ck xk + Fk−1 (h − ak xk )}. xk ∈{0;1}Ký hiÖu F0 (h) = 0; h = 0, b,ta cã c«ng thøc ®Ö quy nh− sau: Fk (h) = max {ck xk + Fk−1 (h − ak xk )}, k = 1, n, h = 0, b. (∗∗) xk ∈{0;1} Tõ c«ng thøc (**), ng−êi ta còng cã thÓ biÕn ®æi ®Ó cã ®−îc c«ng thøc ®Ö quy sau®©y, gäi lµ HÖ thøc Dantzig Fk (h) = max{Fk−1 (h); ck + Fk−1 (h − ak )}, nÕu h = ak , b, (∗ ∗ ∗) Nh− vËy, ®Ó gi¶i bµi to¸n c¸i tói ® nªu, ta chia ra c¸c bµi to¸n nhá d¹ng ®Ö quy(**) hoÆc (***) lÇn l−ît k = 1, 2, ..., n; h = 0, 1, ..., b. KÕt qu¶ ph−¬ng ¸n tèi −u cña bµito¸n t−¬ng øng Fn (b) = f (x∗ ) th× x∗ lµ ph−¬ng ¸n tèi −u cÇn t×m. Trong thùc tÕ thÞ tr−êng tµi chÝnh, c¸c gi¸ trÞ l i suÊt ci vµ chi phÝ ai th−êng biÕn®éng ngÉu nhiªn. §Ó gi÷ cho ci cè ®Þnh, C«ng ty i, i ∈ I cã thÓ ®iÒu chØnh cho ai biÕn®éng theo gi¸ tham chiÕu ngÉu nhiªn wi víi biªn ®é dao ®éng lµ wi ∈ [wi , wi ]. Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i nªu ra mét h−íng gi¶i quyÕt bµi to¸n khi cã sù biÕn®éng ngÉu nhiªn vÒ chi phÝ nh− ® nªu. II. C¸c kÕt qu¶ chÝnh 2.1. Bµi to¸n ®Çu t− tµi chÝnh cã rµng buéc ngÉu nhiªn Gi¶ sö ai , i = 1, ..., n phô thuéc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn wi , i = 1, ..., n. Ký hiÖu w = (wi )lÊy gi¸ trÞ trong W ⊆ Rn ; ®é ®o x¸c suÊt P trªn W lµ P (w ∈ W ) = P (W ) = 1. Khi ®ã +bµi to¸n (1)(2)(3) trë thµnh bµi to¸n quy ho¹ch víi rµng buéc ngÉu nhiªn ...