Báo cáo nghiên cứu khoa học: Một số tính chất của không gian o-mêtric và o-mêtric mạnh.

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 4. Đinh Huy Hoàng, Phan Anh Tài, Nguyễn Đình Lập, Một số tính chất của không gian o-mêtric và o-mêtric mạnh.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Một số tính chất của không gian o-mêtric và o-mêtric mạnh." Mét sè tÝnh chÊt cña kh«ng gian o-mªtric vµ o-mªtric m¹nh §inh Huy Ho ng (a) , Phan Anh T i (b) NguyÔn §×nh LËp (c) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®−a ra mét sè tÝnh chÊt vµ mèi liªn hÖ cña c¸c kh«ng gian o-mªtric, o-mªtric m¹nh, kh«ng gian ®èi xøng vµ chøng minh r»ng mét kh«ng gian o-mªtric m¹nh (t−¬ng øng, o-mªtric Hausdorff) lµ kh«ng gian Frechet m¹nh α4 -kh«ng gian). (t−¬ng øng,1 Më ®Çu Kh«ng gian mªtric lµ mét kh«ng gian t«p« ®Æc biÖt cã rÊt nhiÒu tÝnh chÊt vµ trùcquan. V× thÕ khi nghiªn cøu c¸c kh«ng gian t«p« tæng qu¸t, ng−êi ta th−êng xÐtc¸c tÝnh chÊt t−¬ng tù nh− kh«ng gian mªtric. Mét trong nh÷ng h−íng nghiªn cøutrong t«p« hiÖn ®¹i lµ x©y dùng nh÷ng hµm t−¬ng tù nh− mªtric trªn c¸c kh«ng giant«p« vµ nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt sinh ra tõ c¸c hµm ®ã. §Ó x©y dùng c¸c hµm kiÓunµy, ng−êi ta më réng kh¸i niÖm mªtric b»ng c¸ch gi¶m bít c¸c ®iÒu kiÖn trong ®ÞnhnghÜa cña nã. Víi c¸ch lµm nh− vËy, ng−êi ta thu ®−îc c¸c kh¸i niÖm gi¶ mªtric, nöamªtric, o-mªtric, symmetric,... vµ nghiªn cøu c¸c kh«ng gian b»ng c¸ch dùa vµo c¸ckh¸i niÖm nµy. Nh÷ng ng−êi ®¹t ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ ®¸ng kÓ vÒ nh÷ng lÜnh vùc ®nªu lµ A. V. Arhangelski, G. Gruenhage, K. B. Lee, Ja. A. Kofnor, S. Lin, ... Môc ®Ých cña chóng t«i lµ t×m hiÓu vµ nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña c¸c kh«nggian o-mªtric, o-mªtric m¹nh, ®èi xøng, ... §Çu tiªn chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n. 1.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö V lµ mét tËp con cña kh«ng gian t«p« X . V ®−îc gäi lµl©n cËn d·y cña x ∈ X nÕu víi mçi d y {xn } héi tô tíi x tån t¹i n0 ∈ N sao cho {x} ∪ {xn : n ≥ n0 } ⊂ V. 1.2. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ kh«ng gian Frechet nÕu víi mçitËp con A cña X vµ x ∈ A tån t¹i d y {xn } trong A sao cho d y {xn } héi tô tíi x. 1.3. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ kh«ng gian Frechet m¹nh nÕumçi d y gi¶m c¸c tËp con {An } cña X vµ x ∈ An víi mäi n ∈ N ®Òu tån t¹i d y {xn }trong X sao cho xn ∈ An víi mäi n vµ {xn } héi tô tíi x. 1.4. §Þnh nghÜa ([3]). Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian t«p« vµ d : X × X → R.Hµm d ®−îc gäi lµ mét o-mªtric trªn X nÕu 1 NhËn bµi ngµy 29/5/2009. Söa ch÷a xong 15/9/2009. (i) d(x, y ) ≥ 0 víi mäi x, y ∈ X , (ii) d(x, y ) = 0 khi vµ chØ khi x = y , (iii) TËp con U ⊂ X lµ më khi vµ chØ khi d(x, X U ) > 0 víi mäi x ∈ U , trong ®ã d(x, X U ) = inf {d(x, y ) : y ∈ X U }. Hµm d ®−îc gäi lµ mét o-mªtric m¹nh nÕu d lµ o-mªtric vµ víi mçi x ∈ X , víi mçir > 0, h×nh cÇu B (x, r) = {y ∈ X : d(x, y ) < r} lµ mét l©n cËn cña x. Hµm d ®−îc gäi lµ mét symmetric nÕu d lµ o-mªtric vµ d(x, y ) = d(y, x) víi mäix, y ∈ X . Hµm d ®−îc gäi lµ mét nöa mªtric nÕu d lµ symmetric vµ víi M ⊂ X th× x ∈ Mkhi vµ chØ khi d(x, M ) = inf {d(x, y ) : y ∈ M } = 0. Kh«ng gian t«p« X cïng víi mét o-mªtric (t−¬ng øng, o-mªtric m¹nh, symmetric,nöa mªtric) d trªn nã ®−îc gäi lµ kh«ng gian o-mªtric (t−¬ng øng, o-mªtric m¹nh, ®èixøng, nöa mªtric) vµ ký hiÖu lµ (X, d) hoÆc X nÕu kh«ng cÇn chØ ra d. 1.5. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt (*) nÕu víi mçi®iÓm kh«ng c« lËp x cña X ®Òu tån t¹i mét d y kh«ng tÇm th−êng (kh«ng lµ d ydõng) trong X héi tô tíi x. 1.6. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« X . TËp con Q cña X ®−îc gäi lµ mét c¸iqu¹t t¹i x cña X nÕu Q cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng Q = {x} ∪ {∪{xnm : m ∈ N} :n ∈ N}, trong ®ã {xnm : m ∈ N}n∈N lµ v« h¹n d y rêi nhau cña X mµ mçi d y héi tôvÒ x. TËp con C cña qu¹t Q t¹i x ®−îc gäi lµ mét ®−êng chÐo cña Q nÕu C cã giao víiv« h¹n d y cña qu¹t Q vµ ®ång thêi C lµ mét d y héi tô vÒ mét ®iÓm trong qu¹t Q. Kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ α4 -kh«ng gian nÕu víi mçi x trong X , mäi c¸i qu¹tt¹i x ®Òu cã ®−êng chÐo héi tô vÒ x.2 C¸c kÕt qu¶ chÝnh 2.1. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian o-mªtric. Khi ®ã 1) TËp con U cña X lµ më khi vµ chØ khi víi mçi x ∈ U tån t¹i ε > 0 sao choB (x, ε) ⊂ U . 2) NÕu {xn } ⊂ X vµ x ∈ X sao cho d(x, xn ) → 0 th× xn → x. Chøng minh. 1) Gi¶ sö U lµ tËp më trong X vµ x ∈ U . Khi ®ã theo ®Þnh nghÜa rcña o-mªtric ¾t tån t¹i r > 0 sao cho d(x, X U ) = r. Tõ ®ã suy ra B (x, 2 ) ⊂ U. Ng−îc l¹i, gi¶ sö U lµ tËp con cña X sao cho víi mçi x ∈ U , tån t¹i ε > 0 sao choB (x, ε) ⊂ U . Khi ®ã víi mäi y ∈ X U ta cã y ∈ U . Do ®ã d(x, y ) ≥ ε. Tõ ®ã suy ra /d(x, X U ) ≥ ε > 0. Theo ®Þnh nghÜa cña o-mªtric th× U lµ tËp më trong X . 2) Gi¶ sö {xn } ⊂ X, x ∈ X sao cho d(x, xn ) → 0. Víi bÊt kú l©n cËn U cña x ¾ttån t ...