Báo cáo nghiên cứu khoa học: Một số tính chất của phân thớ con Lagrăng của phân thớ vectơ symplectic

Tham khảo luận văn - đề án báo cáo nghiên cứu khoa học: "một số tính chất của phân thớ con lagrăng của phân thớ vectơ symplectic", luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số tính chất của phân thớ con Lagrăng của phân thớ vectơ symplectic"§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 Mét sè tÝnh chÊt cña ph©n thí con Lagr¨ng cña ph©n thí vect¬ symplectic NguyÔn Duy B×nh (a) Tãm t¾t. Trong bµi nµy chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña ph©n thí con Lagr¨ng cña mét ph©n thí vect¬ symplectic trong mèi quan hÖ víi cÊu tróc hÇu phøc trªn ph©n thí vect¬ symplectic vµ ®ång cÊu ph©n thí symplectic. 1. Ph©n thí vect¬ symplectic v ph©n thí con Lagr¨ng Cho E(B, p) lµ ph©n thí vect¬ kh¶ vi 2n chiÒu trªn ®a t¹p B, mét cÊu trócsymplectic trªn E lµ mét nh¸t c¾t Ω cña ph©n thí £ 2 (E, R) c¸c d¹ng song tuyÕn atÝnh ph¶n xøng trªn E tháa m·n ®iÒu kiÖn: ®èi víi mçi ®iÓm x cña ®¸y B, Ωx lµmét d¹ng symplectic trªn thí Ex. Ph©n thí vect¬ cïng víi mét cÊu tróc symplectictrªn nã ®−îc gäi lµ ph©n thí vect¬ symplectic. Ph©n thí con F cña ph©n thí vect¬symplectic ®−îc gäi lµ ph©n thí con Lagr¨ng nÕu Fx lµ kh«ng gian con Lagr¨ngcña kh«ng gian vect¬ symplectic (Ex, Ωx), tøc Ωx| Fx = 0 vµ dimFx = n (dimEx = 2n),víi mäi x ∈ B. Ta biÕt r»ng mçi kh«ng gian vect¬ symplectic lu«n tån t¹i kh«nggian con Lagr¨ng, tuy nhiªn kh«ng ph¶i mäi ph©n thí vect¬ symplectic ®Òu cãph©n thí con Lagr¨ng. Ch¼ng h¹n, ph©n thí tiÕp xóc cña mÆt cÇu S2 kh«ng tånt¹i ph©n thí con mét chiÒu (xem [3]), cho nªn kh«ng tån t¹i ph©n thí conLagr¨ng cña TS2. Tuy nhiªn, nÕu ph©n thí vect¬ symplectic cã ph©n thí conLagr¨ng th× tån t¹i ph©n thí con bï víi nã (ph©n thí con F (B, p/F ) vµ ph©n thíF(B, p/F) gäi lµ bï nhau nÕu Fx + Fx = Ex víi mäi x ∈ B). VÒ biÓu diÔn ®Þa ph−¬ngcña nh¸t c¾t Ω qua c¸c ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau chóng ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 1.1. Cho L, L lµ hai ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau cña ph©n thívect¬ symplectic E(B, p) cã chiÒu 2n. Khi ®ã víi mäi x ∈ B cã l©n cËn U, trªn ®ãx¸c ®Þnh mét hä c¸c nh¸t c¾t ®Þa ph−¬ng s1, s2, …, sn cña L* vµ sn+1, …, s2n cña(L)* sao cho trªn U ta cã Ω = s1 Λ sn+1 + ... + sn Λ s2n,ë ®©y L*, (L)* t−¬ng øng lµ c¸c ph©n thí ®èi ngÉu cña L vµ L. Chøng minh: Tõ tÝnh chÊt tÇm th−êng ®Þa ph−¬ng cña c¸c ph©n thí suy ravíi mçi x ∈ B tån t¹i l©n cËn U sao cho trªn U cã c¸c nh¸t c¾t ®Þa ph−¬ng θ 1, ..., θ ncña L* (ph©n thí ®èi ngÉu cña L) vµ θ n+1,..., θ 2n cña (L)* (ph©n thí ®èi ngÉu cñaL), mµ t¹i mçi y ∈ U x¸c ®Þnh c¸c c¬ së cña (Ly)* vµ ( L y )* t−¬ng øng. Ta cã NhËn bµi ngµy 03/10/2005. Söa ch÷a xong 09/12/2005 5 Mét sè tÝnh chÊt cña ph©n thí..., tr. 5-9NguyÔn Duy B×nh aij θ i Λ θ j. Ω= ∑ 1≤ i < j ≤ 2 n V× L, L lµ kh«ng gian con Lagr¨ng nªn n aij θ i Λ θ n+j. Ω= ∑ i , j =1 §Æt n sn+i = aij θ n+j, si = θ i, ∑j =1 n+1 2nta cã s , ..., s lµ c¸c nh¸t c¾t cña (L)* vµ Ω = s1 Λ sn+1+ ... + sn Λ s2n. 2. CÊu tróc hÇu phøc v mèi quan hÖ víi c¸c ph©n thí conLagr¨ng bï nhau Kh¸i niÖm cÊu tróc hÇu phøc trªn ph©n thí vect¬ symplectic ®· ®−îc ®Ò cËptrong [1], ë ®©y chóng ta chØ ra mèi quan hÖ cña nã víi c¸c kh«ng gian conLagr¨ng bï nhau. Cho kh«ng gian vect¬ V, cÊu tróc phøc trªn V lµ ®ång cÊu J : V → V sao choJ = -1. Cho ph©n thí vect¬ symplectic E(B, p), nÕu víi mçi x ∈ B x¸c ®Þnh cÊu 2tróc phøc Jx : Ex → Ex phô thuéc vµo x mét c¸ch kh¶ vi th× ta nãi r»ng cã cÊu tróchÇu phøc J trªn ph©n thí ®· cho. CÊu tróc hÇu phøc vµ cÊu tróc symplectic Ωtrªn ph©n thí gäi lµ t−¬ng thÝch nÕu víi mçi x ∈ B, ¸nh x¹ gx : Ex×Ex → R, x¸c®Þnh bëi gx(u, v) = Ωx(u, Jxv)lµ tÝch v« h−íng trªn Ex vµ phô thuéc kh¶ vi vµo x. Khi ®ã t−¬ng øng g : x → gxgäi lµ d¹ng Riman trªn ph©n thí E(B, p). VÒ mèi quan hÖ gi÷a Ω vµ cÊu tróc hÇu phøc t−¬ng thÝch ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 2.1. (§Þnh lý 14.3 [1]). Sù tån t¹i mét cÊu tróc symplectic trªn ph©nthí vect¬ thùc h¹ng 2n t−¬ng ®−¬ng víi sù tån t¹i trªn ph©n thí nµy mét cÊu tróchÇu phøc. H¬n n÷a mäi cÊu tróc symplectic t ...