Báo cáo nghiên cứu khoa học: Một tương tự của định lý ABC cho hàm nhiều biến

Hu-Yang đã ch ng minh m t k t qu suy r ng c a đ nh lý trên, trong đó đ ng th c a + b = c đư c thay b i f0 + · · · + fn+1 = 0 Trong bài báo này, chúng tôi ch ng minh đư c m t k t qu tương t c a đ nh lý abc cho các hàm nhi u bi n. Gi s f là m t....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Một tương tự của định lý ABC cho hàm nhiều biến" T P CHÍ KHOA H C Đ I H C HU , S 50-2009M T TƯƠNG T C A Đ NH LÝ ABC CHO CÁC HÀM NHI U BI N Nguy n Th Phương Nhung Trư ng Đ i h c Vinh Tóm t t.Trong bài báo này, b ng k thu t Wronskian trên đa th c chúng tôich ng đư c m t k t qu tương t c a đ nh lý abc cho các hàm nhi u bi n. 1. Gi i thi u: Gi s F là m t trư ng đóng đ i s có đ c s 0 và f (z ) là m t hàm khác h ngs v i h s thu c F . Ký hi u r(f ) là s các không đi m phân bi t c a f . Đ nh lýabc cho hàm m t bi n đư c phát bi u như sau:Đ nh lý abc([3]). Gi s a(z ), b(z ), c(z ) là các đa th c trên F không đ ng th i làh ng s sao cho a + b = c. Khi đó max {deg(a), deg(b), deg(c)} ≤ r(abc) − 1. Trong [2], Hu-Yang đã ch ng minh m t k t qu suy r ng c a đ nh lý trên, trongđó đ ng th c a + b = c đư c thay b i f0 + · · · + fn+1 = 0 Trong bài báo này, chúngtôi ch ng minh đư c m t k t qu tương t c a đ nh lý abc cho các hàm nhi u bi n. Gi s f là m t đa th c nhi u bi n v i h s trong F và f có s phân tích: s p αi , f= i i=1trong đó các đa th c pi là b t kh quy, phân bi t, và αi > 0 là các s nguyên. Đ nhnghĩa s N0 (f ) = deg( pi ). i=1K t qu chính c a bài báo là đ nh lý sau đây: Đ nh lý:Gi s f0 , ..., fn+1 là n + 2 đa th c nhi u bi n trong vành F [x1 , ..., xl ]không có không đi m chung sao cho f0 , ..., fn đ c l p tuy n tính. Gi s r ng f0 + · · · + fn+1 = 0. (1) 97Khi đó n(n + 1) max deg fi ≤ (N0 (f0 · · · fn+1 ) − 1). 2 0≤i≤n+12. Ch ng minh Đ nh lý: Gi s f là m t hàm h u t nhi u bi n, ta vi t f dư i d ng: f1 f= , f2trong đó f1 , f2 là các đa th c khác không và nguyên t cùng nhau trong vành đath c F [x1 , ..., xl ]. B c c a f , ký hi u deg f , đư c đ nh nghĩa b i deg f1 − deg f2 . Gi s p là m t đa th c b t kh quy, ta vi t f dư i d ng: g1 f = pα , g2trong đó g1 , g2 là các đa th c sao cho p không là ư c c a tích g1 g2 . Khi đó, s nguyênα đư c g i là b c c a f t i p và đư c ký hi u b i µp . Chúng ta có m t s tính ch t fđơn gi n c a µp sau đây. f B đ 2.1.Gi s f, g là hai đa th c và p ∈ F [x1 , ..., xl ] là m t đa th c b t khquy, ta có: a) µp +g ≥ min(µp , µp ), g f f b)µp g = µa + µp , g f f c) µp = µp − µp . g f f g Cho ∆ là m t toán t vi phân d ng ∂ µ1 ∂ µm ∆ = (µ1 · · · µm )−1 · · · µm , ∂xµ1 ∂xm 1trong đó µi ≥ 0 là các s nguyên. Ta ký hi u h ng c a ∆ b i: m ρ(∆) = µi . i=1 B đ 2.2. Gi s ϕ là m t đa th c nhi u bi n th a mãn ∆ϕ ≡ 0, p là m t đath c b t kh quy. Khi đó µp ϕ ≥ −ρ(∆) + µp . ϕ ∆Ch ng minh: Gi s µp = m, khi đó t n t i đa th c f sao cho ϕ = pm f. Ta có ϕ ∂ϕ ∂f ∂p = pm−1 (p + mf ). ∂xi ∂xi ∂xi 98T đó ta có µp∂ϕ ≥ m − 1. ∂xiDo đó µp∂ϕ ≥ −1 + µp . ϕ ∂xiT đó ta thu đư c µp ϕ ≥ −ρ(∆) + µp . ϕ ∆ Cho ∆0 , ..., ∆s sao cho ρ(∆i ) ≤ i và các đa th c h0 , ..., hs trong F [x1 , ..., xl ],Wronskian suy r ng có d ng W [h0 , ..., hs ] = det |∆i hj |0≤i,j ≤s . (2)M t k t qu (xem [7, 8]) kh ng đ nh r ng n u các hàm hi đ c l p tuy n tính trênF thì t n t i Wronskian suy r ng (2) không tri t tiêu. Ch ng minh đ nh lý: Theo gi thi t f0 , ..., fn đ c l p tuy n tính, khi đó t n t im t Wronskian suy r ng W c a f0 , ..., fn không tri t tiêu. Ta đ t W (f0 , ..., fn ) P= , f0 ....fn f0 ....fn+1 Q= . W (f0 , ..., fn )T đó ta có fn+1 = P ...