Báo cáo nghiên cứu khoa học: Ổn định tiệm cận của tập Iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương với chiều thấp

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu của trường đại học Huế đề tài: Ổn định tiệm cận của tập Iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương với chiều thấp...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Ổn định tiệm cận của tập Iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương với chiều thấp"T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 59, 2010 N Đ NH TI M C N C A T P IĐÊAN NGUYÊN T LIÊN K TC A MÔ ĐUN Đ I Đ NG ĐI U Đ A PHƯƠNG V I CHI U TH P Ph m H u Khánh, Trư ng Đ i h c Tây Nguyên Tóm t t. Cho (R, m) là vành Noether đ a phương chi u ≤ 2, I, J là hai iđêanc a R và M là m t R−môđun h u h n sinh. Chúng tôi s ch ng minh r ng, v in đ l n, s nguyên fI (J n M/J n+1 M ) = inf {i : HI (J n M/J n+1 M ) không h u h n sinh} ikhông đ i và v i m i i ∈ N t p h p AssR (HI (J n M/J n+1 M )) n đ nh. i1. Gi i thi u Cho (R, m) là m t vành Noether đ a phương, I, J là hai iđêan c a R và M làm t R−môđun h u h n sinh. Năm 1990, C. Huneke [8, Problem 4] đã đưa ra gi thuy t r ng t p các iđêan inguyên t liên k t c a HI (M ) là h u h n v i m i R−môđun h u h n sinh Mvà m i iđêan I c a R. M c dù A. Singh [12] và M. Katzman [9] đã xây d ngcác ph n ví d cho gi thuy t này, gi thuy t v n còn đúng trong nhi u trư ngh p. Vì v y, m t trong nh ng bài toán quan tr ng c a lý thuy t đ i đ ng đi u iđ a phương là nghiên c u tính h u h n c a t p AssR (HI (M )). Chúng ta bi t ir ng, nói chung, môđun đ i đ ng đi u đ a phương HI (M ) không h u h n sinh. iS nguyên i nh nh t sao cho HI (M ) không h u h n sinh đư c g i là chi u h uh n c a M đ i v i iđêan I và đư c ký hi u b i fI (M ). Năm 2000, M. Brodmann ivà L. Faghani đã ch ng minh trong [3] r ng AssR (HI (M )) là t p h u h n v i m ii ≤ fI (M ). Năm 1979, M. Brodmann [1] đã ch ng minh r ng các t p h p AssR (J n M/J n+1 M )và AssR (M/J n M ) n đ nh v i n đ l n. D a trên các k t qu đó, ông ta ch ngminh trong [2] r ng các s nguyên depth(I, J n M/J n+1 M ) và depth(I, M/J n M )không đ i v i n đ l n. G n đây, M. Brodmann và Lê Thanh Nhàn trong [4]đã gi i thi u khái ni m M − dãy theo chi u > k , đây là m t m r ng c a kháini m dãy chính quy. H cũng ch ra r ng m i M −dãy c c đ i theo chi u > ktrong I có cùng đ dài. Sau đó, các tác gi trong [6] ký hi u đ dài chung này làdepthk (I, M ). Như m t m r ng các k t qu c a Brodmann, h cũng ch ng minhr ng depthk (I, J n M/J n+1 M ) và depthk (I, M/J n M ) không đ i v i n đ l n. Đ c AssR (HI (J n M/J n+1 M )){m} ibi t, v i k = −1, 0, 1, h ch ra r ng các t p h p i≤rk AssR (HI (M/J n M )) i {m} n đ nh v i n đ l n.và i≤ s k 59 T các k t qu trên, chúng tôi đ t ra câu h i: 1) S fI (J n M/J n+1 M ) có nh n giá tr không đ i r khi n đ l n không? 2) T p h p AssR (HI (J n M/J n+1 M )) có n đ nh khi n đ l n không? r Trong bài báo này chúng tôi tr l i cho các câu h i trên trong trư ng h p đ cbi t c a vành R, c th là đ nh lý sau:Đ nh lý 1.1 Cho (R, m) là vành Noether đ a phương có chi u ≤ 2, I, J là haiiđêan c a R và M là R−môđun h u h n sinh. Khi đó hai m nh đ sau đúng: (i) fI (J n M/J n+1 M ) không đ i v i n đ l n. (ii) AssR (HI (J n M/J n+1 M )) n đ nh v i n đ l n, v i m i i ∈ N. i Bài báo này đư c chia 3 ph n. Trong Ph n 2, chúng tôi ch ng minh m nh đ(i) c a Đ nh lý 1.1 và Ph n 3 dùng đ ch ng minh m nh đ (ii) c a Đ nh lý 1.1.2. n đ nh ti m c n c a chi u h u h n sinh Cho (R, m) là vành Noether đ a phương, I, J là hai iđêan c a R và M là m tR−môđun h u h n sinh. Chúng ta đ nh nghĩa chi u h u h n sinh c a M đ i v iI là s i fI (M ) = inf {i ∈ N : HI (M ) không h u h n sinh}. i T [5, Proposition 9.1.2], chúng ta có fI (M ) = inf {i ∈ N : I (0 : HI (M ))}. 0Chú ý r ng fI (M ) ho c là s nguyên dương ho c là ∞, vì HI (M ) là môđun h uh n sinh. N u R là nh đ ng c u c a vành chính quy, Đ nh lý h u h n c a Grothendieckch ra r ng fI (M ) = inf {depth Mp + ht(I + p)/p : p ∈ Supp(M ) V(I )},trong đó V(I ) là t p t t c các iđêan nguyên t c a R ch a I . Trư c h t, chúng tôi nh c l i m t k t qu v tính n đ nh c a t p các iđêannguyên t liên k t như sau.B đ 2.1 ([1], [10, Lemma 2.1]) AssR (Mn ) n đ nh v i n đ l n.Bây gi , m nh đ (i) c a Đ nh lý 1.1 là m t trư ng h p đ c bi t c a đ nh lý sau.Đ nh lý 2.2 Cho R = n≥0 Rn là ...