Báo cáo nghiên cứu khoa học: Sử dụng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức xn - 1 và vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trường phổ thông

Tham khảo luận văn - đề án báo cáo nghiên cứu khoa học: "sử dụng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức xn - 1 và vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trường phổ thông", luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sử dụng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức xn - 1 và vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trường phổ thông"tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008 Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC C¥ Së CñA Lý THUYÕT NHãM KH¶O S¸T C¸C TÝNH CHÊT NGHIÖM CñA §A THøC xn - 1 Vµ VËN DôNG VµO VIÖC KHAI TH¸C C¸C BµI TO¸N ë TR¦êNG PHæ TH¤NG (a) PHAN ANH Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i khai th¸c mét sè bµi to¸n phæ th«ng, qua n nghiªn cøu tËp nghiÖm cña ®a thøc x − 1 dùa trªn quan ®iÓm nhãm. Qua ®ã ®Þnh h−íng sù vËn dông To¸n häc cao cÊp vµo viÖc kh¸m ph¸ c¸c vÊn ®Ò thuéc lÜnh vùc to¸n häc phæ th«ng, nh»m n©ng cao chÊt l−îng ®µo t¹o sinh viªn ngµnh s− ph¹m to¸n. ViÖc nh×n nhËn To¸n häc phæ th«ng theo quan ®iÓm cña To¸n häc hiÖn ®¹i®−îc nhiÒu nhµ khoa häc s− ph¹m chó ý ®Õn. Trong gi¸o tr×nh To¸n phæ th«ng, c¸ct¸c gi¶ nh− V¨n Nh− C−¬ng, §oµn Quúnh, Hoµng Xu©n SÝnh, NguyÔn Xu©n Liªm...®· ®−a ý t−ëng ®ã xuyªn suèt c¸c cÊp häc. ThÓ hiÖn rÊt râ lµ: c¸c ®¬n vÞ kiÕn thøc®−îc x©y dùng trªn nÒn t¶ng cña lý thuyÕt tËp hîp; viÖc më réng hÖ thèng sè theoquan ®iÓm cña cÊu tróc ®¹i sè; kh¸i niÖm hµm ngµy cµng hoµn chØnh vµ lµ sîi chØ®á xuyªn suèt c¸c cÊp häc; viÖc ®¹i sè ho¸ h×nh häc... Bëi vËy, viÖc d¹y häc c¸c m«nto¸n c¬ b¶n, nhÊt lµ §¹i sè ®¹i c−¬ng (§S§C) ë c¸c tr−êng ®¹i häc s− ph¹m cÇn cã sùthay ®æi nhÊt ®Þnh nh»m ®¶m b¶o thÝch øng víi viÖc d¹y vµ häc ë tr−êng phæ th«ng.Trong [4], t¸c gi¶ ®· phiªn dÞch mét líp c¸c bµi to¸n trong §S§C sang ng«n ng÷s¬ cÊp. Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i sÏ tr×nh bµy viÖc vËn dông mét sè kiÕn thøc c¬ nsë cña lý thuyÕt nhãm nh»m kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt nghiÖm cña ®a thøc x − 1 vµvËn dông vµo viÖc khai th¸c c¸c bµi to¸n ë tr−êng phæ th«ng.I. TÝnh chÊt tËp nghiÖm cña ®a thøc x n − 1 n Gi¶ sö U lµ tËp nghiÖm cña ®a thøc x − 1 trªn tr−êng sè phøc », n ∈ »,n > 1. Khi ®ã { } 1. Ký hiÖu A = x ∈ C | x = 1 , th× A lµ mét nhãm ®èi víi phÐp nh©n vµ U lµnhãm con cña nhãm A. 2π 2π 2. U lµ nhãm xiclÝc cÊp n sinh bëi α , trong ®ã α = cos . + i sin n n n −1 2 3. NÕu α lµ phÇn tö kh¸c 1 cña nhãm xiclic U th× 1 + α + α + ..... + α =0. 4. NÕu n lµ sè nguyªn tè th× U lµ nhãm xiclic cÊp n sinh bëi nghiÖm bÊt kú nkh¸c 1 cña ®a thøc x − 1 .II. C¸c b i to¸n phæ th«ng ®−îc khai th¸c Chóng ta b¾t ®Çu tõ mét bµi to¸n phæ th«ng ®¬n gi¶n sau ®©y: 5Bµi to¸n 1. Ph©n tÝch ®a thøc x − 1 thµnh nh©n tö trªn »[x]. DÔ dµng chóng ta thu nhËn ®−îcNhËn bµi ngµy 19/12/2007. Söa ch÷a xong 05/6/2008. 5 Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC ... ë TR¦êNG PHæ TH¤NG, Tr. 5-10PHAN ANH x 5 − 1 = ( x − 1)( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) . (1)Tuy nhiªn, sù ph©n tÝch ë trªn lµ ch−a ®−îc mÜ m·n. §Ó ý r»ng tËp nghiÖm cña ®a 2π 2π { } 5thøc x − 1 lµ nhãm U = 1, α , α 2 , α 3 , α 4 ,trong ®ã α = cos . Trong nhãm + i sin 5 5 4 3 2U , ta cã α = α ; α = α . Bëi vËy: x 5 − 1 = ( x − 1)( x − α )( x − α 2 )( x − α 3 )( x − α 4 ) [ ][ ] = ( x − 1) ( x − α )( x − α 4 ( x − α 2 )( x − α 3 ) = ( x − 1)[( x − α )( x − α )][( x − α ] 2 2 )( x − α ) ...