Báo cáo nghiên cứu khoa học: Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ của bài toán xác định nguồn.

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 4. Lê Văn Hiển, Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ của bài toán xác định nguồn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ của bài toán xác định nguồn." sù héi tô cña nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n x¸c ®Þnh nguån Lª V¨n HiÓn (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i chøng minh sù héi tô cña nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n x¸c ®Þnh nguån d¹ng  ut − Lu = f (x, t); (x, t) ∈ Ω × (0, T ),  u| = 0,  ∂ Ω×(0,T ]  u|t=0 = ϕ. bëi gi¸ trÞ cña u t¹i t = T. 1. më ®Çu Bµi to¸n x¸c ®Þnh nguån lµ mét bµi to¸n cã nhiÒu ý nghÜa lý thuyÕt còng nh ýnghÜa thùc tiÔn, nªn ngoµi nh÷ng nghiªn cøu ®Þnh tÝnh, ngêi ta cßn quan t©m ®Õnc¸c nghiªn cøu ®Þnh lîng, tøc lµ ph¬ng ph¸p sè ®Ó gi¶i chóng, còng nh so s¸nh lêigi¶i xÊp xØ víi lêi gi¶i thùc tÕ. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i tr×nh bµy ph¬ng ph¸pGalerkin ®Ó rêi r¹c vµ chøng minh sù héi tô cña nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n x¸c ®Þnhnguån  ut − Lu = f (x, t); (x, t) ∈ Ω × (0, T ),  (1.1) u| = 0,  ∂ Ω×(0,T ]  u|t=0 = ϕ.Víi ®iÒu kiÖn bæ sung u(x, T ; f, ϕ) = ψT (x), x ∈ Ω (1.2)(ë ®©y u(x, T ; f, ϕ) lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1.1) øng víi c¸c d÷ kiÖn f , ϕ, t¹i thêi ®iÓmT), trong ®ã n n Lu = (aij (x, t)ux + ai (x, t)u)x + bi(x, t)ux + a(x, t)u. j i i i,j =1 i=1 XÐt bµi to¸n x¸c ®Þnh f khi gi¸ trÞ cña u ®îc cho bæ sung t¹i T: tøc lµ, t×m u vµ f ,khi u tháa m·n hÖ (1.1) vµ ®iÒu kiÖn (1.2). Nãi chung bµi to¸n nµy cã thÓ kh«ng tån t¹iduy nhÊt nghiÖm, vµ nÕu nghiÖm tån t¹i duy nhÊt th× nã cã thÓ kh«ng phô thuéc liªntôc vµo d÷ kiÖn ψT (x), tøc nã lµ mét bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. Chóng t«i nghiªn cøu bµi to¸n nµy b»ng ph¬ng ph¸p biÕn ph©n nh sau: T×mf ∈ L2 (QT ) sao cho 1 2 J (f ) = u(., T ; f, ϕ) − ψT (x) (1.3) L2 (Ω) 2®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. NhËn bµi ngµy 11/11/2009. Söa ch÷a xong 22/2/2010. 1 §Ó gi¶i bµi to¸n nµy, hoÆc lµ dïng ph¬ng ph¸p gradient liªn hîp (xem [1]), hoÆcta ¸p dông ph¬ng ph¸p chØnh Tikhonov cho phiÕm hµm 2 J (f ) + α f (1.4) L2 (QT )víi α > 0 chän thÝch hîp (phô thuéc vµo sai sè cña ψT ). §Ó gi¶i sè bµi to¸n (1.3),(1.1)hoÆc (1.4),(1.1) ta ph¶i rêi r¹c hãa, sau ®ã dïng c¸c ph¬ng ph¸p sè ®Ó gi¶i chóng. Métc©u hái ®Æt ra lµ nghiÖm cña bµi to¸n rêi r¹c cã héi tô ®Õn nghiÖm chÝnh x¸c cña bµito¸n ngîc hay kh«ng? C©u hái nµy cha ®îc tr¶ lêi trong c¸c nghiªn cøu tríc ®©y,mÆc dï ®· cã nhiÒu c«ng tr×nh ®Ò cËp ®Õn bµi to¸n ngîc (1.1)-(1.2) ([1]). Trong bµi viÕtnµy, chóng t«i sÏ nghiªn cøu bµi to¸n trªn vµ chØ ra sù héi tô cña nghiÖm xÊp xØ b»ngph¬ng ph¸p Galerkin tíi nghiÖm chÝnh x¸c cña bµi to¸n ngîc. ë ®©y chóng t«i chØxÐt trêng hîp f (x, t) = f (x) ∈ L2 (Ω). 2. Mét sè kiÕn thøc bæ trî 2.1. C¸c gi¶ thiÕt cho bµi to¸n (1.1)-(1.2). Trong bµi b¸o nµy chóng ta gi¶ thiÕt Ω lµ miÒn giíi néi trong Rn , n ≥ 2; T > 0 chotríc. QT = Ω × (0, T ). Ký hiÖu L2 (Ω) lµ kh«ng gian tÊt c¶ c¸c hµm b×nh ph¬ng kh¶ tÝch trªn Ω, víi tÝch v«huíng (u, v)L (Ω) = u(x)v(x)dx vµ chuÈn u L (Ω) = (u, u)L (Ω) ; ∀u, v ∈ L2 (Ω). H 1,0 (QT ) = 2 2 2 ΩL2 ((0, T ); H 1 (Ω)) lµ kh«ng gian tÊt c¶ c¸c hµm u(x, t) trong L2 (QT ) cã c¸c ®¹o hµm yÕu∂u/∂xi , i = 1, ..., n kh¶ tÝch trªn QT víi tÝch v« híng vµ chuÈn ®îc ®Þnh nghÜa = (u, u)H 1,0 (QT ) ; ∀u, v ∈ H 1,0 (QT ). (u, v )H 1,0 (QT ) = (uv + ux vx )dxdt; u H 1,0 (QT ) ...