Báo cáo nghiên cứu khoa học: Tính rốn của mặt đối chiều hai spacelike trong Ln+1.

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 1. Đặng Văn Cường, Tính rốn của mặt đối chiều hai spacelike trong Ln+1.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tính rốn của mặt đối chiều hai spacelike trong Ln+1." TÝnh rèn cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong Ln+1 §Æng V¨n Cêng (a) Tãm t¾t. Trong bµi bµo nµy chóng t«i giíi thiÖu ph¬ng ph¸p sö dông c«ng cô n± -¸nh x¹ Gauss ®Ó kh¶o s¸t tÝnh rèn cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong kh«ng r gian Lorent-Minkowski Ln+1 . I. Më ®Çu B»ng c¸ch ®Æt t¬ng øng mét ®iÓm trªn mét mÆt ®èi chiÒu hai spacelike chÝnhquy trong kh«ng gian Lorentz-Minkoski Ln+1 víi mét cÆp vect¬ chØ ph¬ng cña 2-ph¼ng ph¸p trong n-kh«ng gian hyperbolic t©m v b¸n kÝnh 1, trong ®ã v = (0, 0, ..., 0, 1) ∈Ln+1 , ta cã kh¸i niÖm n± -¸nh x¹ Gauss. Tõ kh¸i niÖm nµy chóng ta cã c¸c kh¸i niÖm: rn± -¸nh x¹ Weigarten, n± -®é cong chÝnh, n± -®é cong Gauss-Kronecker, ®iÓm n± -rèn, r r r rmÆt n± -rèn ...vµ th«ng qua c¸c kh¸i niÖm nµy chóng t«i tiÕn hµnh kh¶o s¸t tÝnh rèn rcña mÆt. II. KiÕn thøc c¬ së 2.1. Kh«ng gian Lorentz-Minkowski n+1 Kh«ng gian Lorentz-Minkowski n-chiÒu L lµ kh«ng gian vect¬ Rn+1 cïng víimét d¹ng song tuyÕn tÝnh ®îc x¸c ®Þnh bëi n x, y = xk yk − xn+1 yn+1 , k=1víi x = (x1 , x2 , . . . , xn+1 ), y = (y1 , y2 , . . . , yn+1 ) ∈ Rn+1 . D¹ng song tuyÕn tÝnh trªn ®îcgäi lµ gi¶ tÝch v« híng trªn Ln+1 . Víi x ∈ Ln+1 , ®é dµi cña vect¬ x ®îc x¸c ®Þnh theo (gi¶) tÝch v« híng ||x|| = | x, x |. 2.2. C¸c lo¹i vect¬ Cho x ∈ Ln+1 , x = 0. Khi ®ã x ®îc gäi lµ spacelike nÕu x, x > 0, timelike nÕu x, x < 0 vµ lightlike nÕu x, x = 0. Hai vect¬ x, y ∈ Ln+1 ®îc gäi lµ trùc giao víi nhau nÕu x, y = 0. 2.3. NhËn xÐt (i) Hai vect¬ lightlike phô thuéc tuyÕn tÝnh th× trùc giao víi nhau. (ii) HÖ vect¬ gåm hai vect¬ kh¸c lo¹i th× ®éc lËp tuyÕn tÝnh. NhËn bµi ngµy 30/7/2009. Söa ch÷a xong 10/9/2009. 1 2.4. C¸c lo¹i ph¼ng Cho Π lµ m-ph¼ng trong Ln+1 . (+) Π ®îc gäi lµ m-ph¼ng spacelike nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña Π chØ chøa c¸cvect¬ spacelike hoÆc vect¬ 0; (+) Π ®îc gäi lµ m-ph¼ng timelike nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña Π cã chøa ÝtnhÊt mét vect¬ timelike ; (+) Π ®îc gäi lµ m-ph¼ng lightlike nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña Π chøa Ýt nhÊtmét vect¬ lightlike vµ kh«ng chøa vect¬ timelike nµo. 2.5. NhËn xÐt (1) Cho Π lµ mét m-ph¼ng trong Ln+1 . Khi ®ã Π chØ cã thÓ lµ m-ph¼ng spacelike, hoÆc m-ph¼ng timelike, hoÆc lµ m-ph¼ng lightlike. (2) Cho HP (q, c) = {x ∈ Ln+1 | x, q = c} (víi q lµ vector cè ®Þnh vµ c lµ h»ng sè) lµ mét siªu ph¼ng trong Ln+1 . Khi ®ã HP (q, c) lÇn lît lµ siªu ph¼ng spacelike, siªu ph¼ng timelike, siªu ph¼ng lightlike nÕu vµ chØ nÕu q t¬ng øng lÇn lît lµ vect¬ timelike, vect¬ spacelike, vect¬ lightlike. 2.6. n-kh«ng gian hyperbolic (i) Siªu mÆt hyperbolic n-chiÒu, ký hiÖu Hn (−1), ®îc x¸c ®Þnh nh sau Hn (−1) = {x ∈ Ln+1 | x, x = −1}. (ii) n-kh«ng gian hyperbolic, ký hiÖu H+ (−1), ®îc x¸c ®Þnh nh sau n H+ (−1) = {x ∈ Ln+1 | x, x = −1, xn+1 > 0}. n(iii) n-kh«ng gian hyperbolic t©m a ∈ Ln+1 , b¸n kÝnh r ∈ R+ , ký hiÖu H+ (a, r), ®îc n x¸c ®Þnh nh sau H+ (a, r) = {x ∈ Ln+1 | x − a, x − a = −r, xn+1 ≥ 0}. n 2.7. C¸c lo¹i siªu mÆt trong n-kh«ng gian hyperbolic LÊy siªu ph¼ng HP (q, c) giao víi n-kh«ng gian hyperbolic H+ (−1) (nÕu kh¸c rçng nvµ kh¸c mét ®iÓm) ta nhËn ®îc c¸c lo¹i siªu mÆt trong n-kh«ng gian hyperbolic.HP (q, c) ∩ H+ (−1) lÇn lît ®îc gäi lµ siªu cÇu (hypersphere), siªu mÆt c¸ch ®Òu n(equidistant hypersurface), siªu cùc h¹n (hyperhorosphere) trong hyperbolic nÕu t¬ngøng HP (q, c) lµ siªu mÆt spacelike, siªu mÆt timelike, siªu mÆt lightlike. T¬ng tù, lÊy siªu ph¼ng HP (q, c) giao víi n-kh«ng gian hyperbolic H+−1 (a, r) t©m na b¸n kÝnh r ta còng nhËn ®îc c¸c lo¹i siªu mÆt trong H+ (a, r). Trêng hîp ®Æc biÖt n−1siªu ph¼ng lµ {xn+1 = c} víi c lµ mét h»ng sè, c¾t mét hyperbolic H (a, r) ta ký hiÖuSH (a, r, c) = H (a, r) ∩ {xn+1 = c}, vµ ®îc gäi lµ siªu cÇu ®Æc biÖt. DÔ dµng kiÓm tra ®îc, c¸c siªu mÆt trong n-kh«ng gian hyperbolic lµ c¸c ®a t¹ptr¬n (n − 1)-chiÒu. Trong phÇn nghiªn cøu tÝnh rèn (umbilic) cña mÆt ®èi chiÒu haichóng ta sÏ quan t©m nhiÒu ®Õn c¸c l ...