Báo cáo nghiên cứu khoa học: Tổng trực tiếp các modun đều với độ dài hữu hạn

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu của trường đại học Huế đề tài: Tổng trực tiếp các modun đều với độ dài hữu hạn...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tổng trực tiếp các modun đều với độ dài hữu hạn"T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 59, 2010 T NG TR C TI P CÁC MÔĐUN Đ U V I Đ DÀI H U H N Ngô S Tùng, trư ng Đ i h c Vinh Lê Văn An, trư ng THPT Phan B i Châu, Ngh An Nguy n Minh Tu n, trư ng Đ i h c Vinh Tóm t t. Bài báo trình bày m t s k t qu v tính ch t liên t c c a môđunlà t ng tr c ti p h u h n các môđun đ u v i đ dài h u h n và t đó đưa ram t s đ c trưng v vành QF.1. M đ u Trong bài báo này các vành luôn gi thi t là vành k t h p có đơn v vàt t c các môđun là môđun ph i unita trên vành R nào đó (n u không nói gìthêm). Cho R−môđun ph i M , chúng ta dùng các ký hi u A ⊆ M , A ⊆e M ,A ⊆⊕ M đ ch A là môđun con, môđun con c t y u, h ng t tr c ti p c amôđun M . Vành các t đ ng c u, đ dài và chi u đ u c a môđun M l n lư tđư c ký hi u là End(M ), l(M ), u − dim(M ). Cho R−môđun ph i M , ta xét các đi u ki n sau: (C1 ) M i môđun con c a M là c t y u trong m t h ng t tr c ti p c a M ,hay nói cách khác m i môđun con đóng trong M là h ng t tr c ti p c a M . (C2 ) N u A và B là các môđun con c a M đ ng c u v i nhau và A là h ngt tr c ti p c a M thì B cũng là h ng t tr c ti p c a M . (C3 ) N u A và B là các h ng t tr c ti p c a M và A ∩ B = 0 thì A ⊕ Bcũng là h ng t tr c ti p c a M . Môđun M đư c g i là CS −môđun (tương ng môđun liên t c, t a liênt c), n u M tho mãn đi u ki n (C1 ) (tương ng (C1 ) và (C2 ); (C1 ) và (C3 )).Theo [4] và [9] ta có (C2 ) =⇒ (C3 ) và sơ đ kéo theo sau là đúng đ i v i m tmôđun: N i x =⇒ T a n i x =⇒ Liên t c =⇒ T a liên t c =⇒ CS. Môđun M đư c g i là Σ−CS n u môđun M (I ) là CS v i t p ch s I b tkỳ. Trong bài báo này chúng tôi đưa ra đi u ki n (∗) đ i v i m t R−môđunph i M như sau: (∗) N u B là m t môđun con đ u c a M và đ ng c u v i m t h ng t tr cti p A c a M thì B cũng là h ng t tr c ti p c a M . 149 Nh n xét r ng n u môđun M tho mãn đi u ki n (C2 ) thì M tho mãnđi u ki n (∗). Môđun M đư c g i là đ a phương (local) n u M có môđun con t i đ i duynh t. Khi M là môđun đ a phương thì J (M ) = M và J (M ) là môđun cont i đ i duy nh t, t c là m i môđun con th c s c a M cũng là môđun conc a J (M ). Vành R đư c g i là đ a phương n u R R (ho c RR ) là môđun đ aphương. Vành R đư c g i là QF n u R là vành Artin ph i và trái, t a n i xph i và trái. Bài vi t này đưa ra m t s k t qu v tính ch t liên t c c a t ng tr c ti ph u h n M = M1 ⊕ ... ⊕ Mn v i Mi là các môđun đ u có đ dài h u h n(i = 1, ..., n). T đó ng d ng các k t qu v môđun đ đ c trưng vành QF.Các k t qu c a bài bài báo này là n i ti p nh ng nghiên c u c a chúng tôitrong [1], [13] và c a các tác gi khác trong [3], [7], [8], ...2. Các k t quB đ 1. Cho môđun M tho mãn đi u ki n (∗). N u N là h ng t tr c ti pc a M thì N tho mãn đi u ki n (∗).Ch ng minh. Gi s A là môđun con đ u c a N và đ ng c u v i m t h ngt tr c ti p B c a N , ta ch ng minh A cũng là h ng t tr c ti p c a N . Đ tM = N ⊕ N và N = B ⊕ B , ta có M = B ⊕ B ⊕ N , suy ra B là h ng t tr cti p c a M . Vì A là môđun con đ u c a M và môđun M tho mãn đi u ki n(∗) nên A là h ng t tr c ti p c a M . Đ t M = A ⊕ A , theo lu t Môđula tacó N = N ∩ M = N ∩ (A ⊕ A ) = A ⊕ (N ∩ A ). Do đó A là h ng t tr c ti pc a N , t c là N tho mãn đi u ki n (∗).B đ 2. Cho các môđun đ u U1 , U2 sao cho l(U1 ) = l(U2 ) < ∞ và đ tU = U1 ⊕ U2 . Khi đó U tho mãn đi u ki n (C3 ).Ch ng minh. Theo [14], vành các t đ ng c u End(U1 ) và End(U2 ) là vànhđ a phương. Ta ch ng minh U tho mãn đi u ki n (C3 ), t c là v i hai h ng ttr c ti p S1 , S2 c a U sao cho S1 ∩ S2 = 0 thì S1 ⊕ S2 cũng là h ng t tr c ti pc a U . Nh n xét r ng u−dim(U ) = 2 nên ch ng minh là t m thư ng trongtrư ng h p: M t trong hai h ng t tr c ti p Si có chi u đ u b ng 2 và h ngt tr c ti p còn l i là 0. Xét trư ng h p c hai h ng t tr c ti p S1 , S2 là môđun đ u. Đ t U =S2 ⊕ K . Theo B đ Azumaya, S2 ⊕ K = S2 ⊕ U1 , ho c S2 ⊕ K = S2 ⊕ U2 .Vì U1 và U2 là bình đ ng nên không m t tính t ng quát ta ch c n xét trư ngh p U = S2 ⊕ K = S2 ⊕ U1 = U1 ⊕ U2 . Khi đó S2 ∼ U2 . Đ t U = S1 ⊕ H , theo =B đ Azumaya, U = S1 ⊕ H = S1 ⊕ U1 ho c S1 ⊕ H = S1 ⊕ U2 . N u U = S1 ⊕H = S1 ⊕U1 s d ng lu t Môđula, ta có S1 ⊕S2 = S1 ⊕X trongđó X = (S1 ⊕ S2 ) ∩ U1 . T đó X ∼ S2 ∼ U2 . Hơn n a l(U1 ) = l(U2 ) = l(X ), = =nên U1 = X và do đó S1 ⊕ S2 = S1 ⊕ U1 = U . 150 N u U = S1 ⊕ H = S1 ⊕ U2 s d ng lu t Môđula, ta có S1 ⊕ S2 = S1 ⊕ Vtrong đó V = (S1 ⊕ S2 ) ∩ U2 . T đó V ∼ S2 ∼ U2 . Hơn n a l(U2 ) = l(V ), nên = =U2 = V và do đó S1 ⊕ S2 = S1 ⊕ U2 = U . V y môđun ...