Báo cáo nghiên cứu khoa học: Về các tập ω-nửa đóng suy rộng

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 1. Trần Văn Ân, Nguyễn Thị Thu, Về các tập ω-nửa đóng suy rộng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về các tập ω-nửa đóng suy rộng" VÒ c¸c tËp ω -nöa ®ãng suy réng TrÇn V¨n ¢n(a) , NguyÔn ThÞ Thu(b) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña líp c¸c tËp ω -nöa ®ãng suy réng, c¸c tËp ω -nöa më suy réng, c¸c tËp ω gs-®ãng, c¸c hµm ω gs-®ãng vµ ω gs-liªn tôc. më ®Çu N¨m 1970 kh¸i niÖm tËp ®ãng suy réng trong t«p« (generalized closed sets intopology) ®−îc N. Levin giíi thiÖu nh»m më réng nhiÒu tÝnh chÊt quan träng cña tËp®ãng trong t«p«. Tõ ®ã ®Õn nay tËp ®ãng suy réng ® thu hót ®−îc sù quan t©m cñanhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi. ViÖc nghiªn cøu tËp ®ãng suy réng cho ta nh÷ngkÕt qu¶ thó vÞ, ch¼ng h¹n tõ sù nghiªn cøu vÒ tËp ®ãng suy réng mµ kh¸i niÖm vÒ T 1 - 2kh«ng gian ®−îc ®Ò xuÊt bëi W. Dunham (1977), tËp σ - ®ãng suy réng vµ T 3 -kh«ng 4gian ®−îc ®Ò xuÊt bëi J. Dontchev vµ M. Ganster (1996), tËp θ - ®ãng suy réng ®−îcgiíi thiÖu bëi J. Dontchev vµ H. Maki (1999), tËp ω -®ãng suy réng (gω -®ãng) ®−îc ®ÒxuÊt bëi KhaLid Y. Alzoubi (2005), tËp ω - ®ãng suy réng chÝnh quy (rgω -®ãng) ®−îc®Ò xuÊt bëi Ahmad Al - Omari vµ Mohd Salmi Md Noorani (2007), tËp ®ãng nöa suyréng (sg-®ãng) ®−îc giíi thiÖu bëi P. Bahattacharyya vµ B. K. Lahiri (1987), tËp nöa®ãng suy réng (gs-®ãng) ®−îc giíi thiÖu bëi S. P. Arya vµ T. M. Nour (1990), ...®ångthêi ng−êi ta cßn sö dông líp c¸c tËp trªn ®Ó giíi thiÖu líp c¸c ¸nh x¹ ω -liªn tôc,ω -kh«ng gi¶i ®−îc, g-liªn tôc, g-kh«ng gi¶i ®−îc, gω -liªn tôc , gω -kh«ng gi¶i ®−îc,rgω -liªn tôc, rgω -kh«ng gi¶i ®−îc ... Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña líp c¸c tËp ω -nöa®ãng suy réng, c¸c tËp ω -nöa më suy réng, c¸c tËp ω gs-®ãng, c¸c hµm ω gs-®ãng vµω gs-liªn tôc. Tr−íc hÕt chóng ta nh¾c l¹i mét vµi kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt ® biÕt sÏsö dông trong bµi. Cho (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A lµ mét tËp con cña X . §iÓm x ∈ X ®−îcgäi lµ ®iÓm c« ®äng (condensation) cña A nÕu víi mçi U ∈ τ mµ x ∈ U th× U ∩ A kh«ng®Õm ®−îc. TËp A ®−îc gäi lµ ω -®ãng nÕu nã chøa tÊt c¶ c¸c ®iÓm c« ®äng cña nã. DÔthÊy r»ng mäi tËp ®ãng ®Òu lµ tËp ω -®ãng. PhÇn bï cña tËp ω -®ãng ®−îc gäi lµ tËpω -më. DÔ thÊy r»ng tËp con B cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) lµ tËp ω -më nÕu vµ chØ nÕuvíi mçi x ∈ B tån t¹i U ∈ τ sao cho x ∈ U vµ U − B ®Õm ®−îc vµ mäi tËp më ®Òu lµtËp ω -më. Hä tÊt c¶ c¸c tËp con ω -më cña kh«ng gian (X, τ ) ký hiÖu bëi τω . ω -bao®ãng vµ ω -phÇn trong cña tËp A ®Þnh nghÜa t−¬ng tù clA, intA vµ chóng ®−îc ký hiÖu 1 NhËn bµi ngµy 31/7/2009. Söa ch÷a xong 10/9/2009.lµ clω (A), intω (A). TËp A ⊂ X ®−îc gäi lµ tËp ®ãng suy réng (viÕt t¾t lµ g -®ãng) nÕuclA ⊂ U víi mäi tËp U më chøa A. PhÇn bï cña tËp g -®ãng ®−îc gäi lµ tËp g -më. TËpcon A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ nöa më nÕu tån t¹i tËp më B sao choB ⊂ A ⊂ clB . Kh«ng gian t«p« (H, τH ) ®−îc nh¾c ®Õn trong bµi nµy chÝnh lµ kh«nggian H víi t«p« τH ®−îc c¶m sinh bëi t«p« τ trªn H . Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îcgäi lµ ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng nÕu mçi tËp më kh¸c rçng trong X ®Òu kh«ng ®Õm®−îc. 1. TËp ω -nöa ®ãng 1.1. §Þnh nghÜa. TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ ω -nöa më(ω -semi open) nÕu tån t¹i tËp më V sao cho V ⊂ A ⊂ clω (V ). TËp tÊt c¶ c¸c tËp ω -nöa më cña X ký hiÖu lµ ωSO(X ). 1.2. NhËn xÐt. (i) DÔ dµng kiÓm tra ®−îc r»ng: clω (A) lµ tËp ω -®ãng nhá nhÊtchøa A. (ii) NÕu A, B lµ c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) mµ A ⊂ B th× clω (A) ⊂clω (B ). 1.3. §Þnh lý. NÕu (A, τA ) lµ kh«ng gian con ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cñakh«ng gian (X, τ ), th× clA = clω (A).Chøng minh. Ta lu«n cã clω (A) ⊂ clA . Do ®ã ®Ó chøng minh ®Þnh lý ta chØ cÇnchøng minh clA ⊂ clω (A). ThËt vËy, gi¶ sö tån t¹i x ∈ clA − clω (A), khi ®ã x ∈ clω (A) /nªn tån t¹i Wx ∈ τω sao cho x ∈ Wx vµ Wx ∩ A = ∅. Chän Vx ∈ τ sao cho x ∈ Vxvµ Vx − Wx = Cx ®Õm ®−îc. V× x ∈ clA vµ x ∈ Vx nªn Vx ∩ A = ∅. Lóc ®ã ta cã∅ = Vx ∩ A ⊂ A ∩ (Wx ∪ Cx ) = (A ∩ Wx ) ∪ (A ∩ Cx ) = A ∩ Cx ⊂ Vx ∩ A. Suy raVx ∩ A = Cx ∩ A ∈ τA . §iÒu nµy chøng tá tån t¹i trong τA mét tËp më kh¸c rçng ®Õm®−îc. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt (A, τA ) ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng. VËy clA = clω (A). 1.4. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A lµ tËp con cña X . Khi®ã (i) NÕu A lµ tËp ω -nöa më, th× A lµ tËp nöa më. (ii) NÕu x ∈ X vµ {x} lµ tËp ω -nöa më, th× {x} lµ tËp më. (iii) Hîp cña hä tuú ý c¸c tËp ω -nöa më lµ tËp ω - nöa më. (iv) Giao cña hai tËp ω -nöa më cã thÓ kh«ng lµ tËp ω -nöa më.Chøng minh. (i) Gi¶ sö A lµ tËp con ω -nöa më ...