Báo cáo nghiên cứu khoa học: Về không gian S-đóng đếm được

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 6. Lê Ngọc Minh, Bùi Minh Tuyển, Về không gian S-đóng đếm được
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về không gian S-đóng đếm được" VÒ kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®­îc Lª Ngäc Minh (a) , Bïi Minh TuyÓn (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña líp c¸c kh«ng gian S -®ãng, c¸c kh«ng gian s-®ãng, c¸c kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®­îc vµ c¸c kh«ng gian s-®ãng ®Õm ®­îc. më ®Çu N¨m 1963, kh¸i niÖm tËp nöa më, tËp nöa ®ãng trong t«p« ®­îc N. Levine giíi thiÖu nh»m më réng nhiÒu tÝnh chÊt quan träng cña tËp më vµ tËp ®ãng trong t«p«. N¨m 1970, N. Levine tiÕp tôc më réng kh¸i niÖm tËp ®ãng thµnh líp c¸c tËp ®ãng suy réng. Tõ ®ã ®Õn nay, tËp nöa më vµ tËp nöa ®ãng ®· thu hót ®­îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi. ViÖc nghiªn cøu tËp nöa më vµ tËp nöa ®ãng cho ta nh÷ng kÕt qu¶ thó vÞ, ch¼ng h¹n nhê sö dông kh¸i niÖm tËp nöa më, n¨m 1975, S. N. Maheshwari vµ R. Parasad ®· nghiªn cøu c¸c tiªn ®Ò t¸ch vµ ®­a ra ba tiªn ®Ò t¸ch míi lµ nöa - T0 - kh«ng gian, nöa - T1 - kh«ng gian vµ nöa - T2 - kh«ng gian. N¨m 1976, T. Thompson ®· sö dông tËp nöa më ®Ó ®Ò xuÊt kh¸i niÖm kh«ng gian S -®ãng. Sau ®ã kÕt qu¶ cña T. Thompson ®· ®­îc c¸c nhµ to¸n häc më réng theo nhiÒu h­íng kh¸c nhau, kh«ng gian s-®ãng ®­îc giíi thiÖu bëi G. Di Maio vµ T. Noiri (1987), kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®­îc ®­îc giíi thiÖu bëi K. Dlaska, N. Ergun vµ M. Ganster (1991), kh«ng gian s-®ãng ®Þa ph­¬ng ®­îc ®Ò xuÊt bëi C. K. Basu (1996),... Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña líp c¸c kh«ng gian S -®ãng, c¸c kh«ng gian s-®ãng, c¸c kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®­îc vµ c¸c kh«ng gian s-®ãng ®Õm ®­îc. Tr­íc hÕt, chóng ta nh¾c l¹i mét vµi kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt ®· biÕt sÏ sö dông trong bµi. Cho (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A lµ mét tËp con cña X . TËp A ®­îc gäi lµ nöa më nÕu tån t¹i tËp më U sao cho U ⊂ A ⊂ cl(U ). PhÇn bï cña tËp nöa më ®­îc gäi lµ tËp nöa ®ãng. Hä tÊt c¶ c¸c tËp nöa më (t­¬ng øng, nöa ®ãng) trong (X, τ ) ®­îc ký hiÖu lµ SO(X, τ ) (t­¬ng øng, SC (X, τ )). Râ rµng, mçi tËp ®ãng lµ tËp nöa ®ãng vµ mçi tËp më lµ tËp nöa më. Giao cña tÊt c¶ c¸c tËp nöa ®ãng chøa A ®­îc gäi lµ bao nöa ®ãng cña A vµ ký hiÖu lµ scl(A). Hîp cña tÊt c¶ c¸c tËp nöa më n»m trong A ®­îc gäi lµ nöa phÇn trong cña A vµ ký hiÖu lµ sint(A). DÔ thÊy r»ng scl(A) lµ tËp nöa ®ãng nhá nhÊt chøa A vµ sint(A) lµ tËp nöa më lín nhÊt n»m trong A. I. TËp ®ãng chÝnh quy 1.1. §Þnh nghÜa ([2]). TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®­îc gäi lµ nöa chÝnh quy (semi-regular) nÕu A lµ tËp nöa ®ãng vµ nöa më. Ký hiÖu SR(X, τ ) lµ hä tÊt c¶ c¸c tËp nöa chÝnh quy trong (X, τ ). NhËn bµi ngµy 19/10/2009. Söa ch÷a xong 30/12/2009. 1 1.2. MÖnh ®Ò ([2]). Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y lµ t­¬ng ®­¬ng (i) A lµ tËp nöa më trong (X, τ ); (ii) sint(A) = A; (iii) A ⊂ cl(int(A)); 1.3. MÖnh ®Ò ([2]). Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y lµ t­¬ng ®­¬ng (i) A lµ tËp nöa ®ãng trong (X, τ ); (ii) scl(A) = A; (iii) int(cl(A)) ⊂ A; 1.4. §Þnh lý ([2]). Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã (i) scl(A) ∈ SR(X, τ ) víi mäi A ∈ SO(X, τ ); (ii) int(cl(A)) = scl(A) víi mäi A ∈ τ . 1.5. §Þnh nghÜa ([3]). TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®­îc gäi lµ ®ãng chÝnh quy (regular closed) nÕu A = cl(int(A)). Ký hiÖu RC (X, τ ) lµ hä tÊt c¶ c¸c tËp ®ãng chÝnh quy trong (X, τ ). 1.6. NhËn xÐt. NÕu A lµ tËp ®ãng chÝnh quy trong (X, τ ) th× A lµ tËp ®ãng. 1.7. MÖnh ®Ò. NÕu A1 , A2 ∈ RC (X, τ ) th× A1 ∪ A2 ∈ RC (X, τ ). Chøng minh. Gi¶ sö A1 , A2 ∈ RC (X, τ ). Khi ®ã A1 = cl(int(A1 )) vµ A2 = cl(int(A2 )). Suy ra A1 ∪ A2 = cl(int(A1 ) ∪ int(A2 )) ⊂ cl(int(A1 ∪ A2 )). V× A1 ∪ A2 lµ tËp ®ãng vµ int(A1 ∪ A2 ) ⊂ A1 ∪ A2 nªn cl(int(A1 ∪ A2 )) ⊂ A1 ∪ A2 . Tõ ®ã suy ra A1 ∪ A2 = cl(int(A1 ∪ A2 )). VËy A1 ∪ A2 ∈ RC (X, τ ). 1.8. §Þnh nghÜa ([3]). TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®­îc gäi lµ më chÝnh quy (regular open) nÕu X \A lµ tËp ®ãng chÝnh quy. Ký hiÖu RO(X, τ ) lµ hä tÊt c¶ c¸c tËp më chÝnh quy trong (X, τ ). 1.9. NhËn xÐt. (i) NÕu A lµ tËp më chÝnh quy trong (X, τ ) th× A lµ tËp më. (ii) A lµ tËp më chÝnh quy trong (X, τ ) khi vµ chØ khi A = int(cl(A)). 1.10 MÖnh ®Ò. NÕu A1 , A2 ∈ RO(X, τ ) th× A1 ∩ A2 ∈ RO(X, τ ). Chøng minh. Gi¶ sö A1 , A2 ∈ RO(X, τ ). Khi ®ã, A1 = int(cl(A1 )) vµ A2 = int(cl(A2 )). Suy ra, int(cl(A1 ∩ A2 )) ⊂ int(cl(A1 )∩cl(A2 )) = A1 ∩A2 . Do A1 ∩A2 lµ tËp më vµ A1 ∩A2 ⊂ cl(A1 ∩ A2 ) nªn A1 ∩ A2 ⊂ int(cl(A1 ∩ A2 )). Tõ ®ã suy ra, A1 ∩ A2 = int(cl(A1 ∩ A2 )). VËy, A1 ∩ A2 ∈ RO(X, τ ). 1.11. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã (i) NÕu A ∈ RO(X, τ ) hoÆc A ∈ SO(X, τ ) th× cl(A) ∈ RC (X, τ ). (ii) NÕu A ∈ RC (X, τ ) hoÆc A ∈ SC (X, τ ) th× int(A) ∈ RO(X, τ ). Chøng minh. (i) Gi ...