Báo cáo nghiên cứu khoa học: Về sự Y-ổn định của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banac

Trong toán học, một phép biến đổi tuyến tính (còn được gọi là toán tử tuyến tính hoặc là ánh xạ tuyến tính) là một hàm giữa hai không gian vectơ mà bảo toàn được các thao tác cộng và nhân vô hướng vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn tổ hợp tuyến tính. Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, một phép biến đổi tuyến tính là một đồng cấu giữa các không gian vectơ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về sự Y-ổn định của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banac" tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 VÒ tÝnh Ψ-æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian banach Ph¹m Ngäc Béi , Ho ng V¨n Th nh (a) (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i x©y dùng c¸c kh¸i niÖm Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ- æn ®Þnh mò cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach vµ chøng minh mét sè ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph−¬ng tr×nh nµy Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ-æn ®Þnh mò. Bµi b¸o còng chØ ra mèi quan hÖ gi÷a ®iÒu kiÖn Perron cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt víi tÝnh Ψ-æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt t−¬ng øng. I. Giíi thiÖu Gi¶ sö B lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn . , vµ {A(n), n ≥ 0} lµ mét d·y to¸n tö tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian Banach B. Khi ®ã ta cã ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong B (1) x(n + 1) = A(n) x(n) C¸c kÕt qu¶ cæ ®iÓn vÒ sù æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh (1) trong »n ®−îc tr×nh bµy mét c¸ch hÖ thèng trong nhiÒu tµi liÖu (ch¼ng h¹n trong [10]). §Ó t×m c¸c kÕt qu¶ tæng qu¸t h¬n, cã hai quan ®iÓm nghiªn cøu: mét lµ xÐt ph−¬ng tr×nh (1) trong c¸c kh«ng gian tæng qu¸t h¬n »n; hai lµ ®−a ra c¸c kh¸i niÖm æn ®Þnh tæng qu¸t h¬n kh¸i niÖm æn ®Þnh cæ ®iÓn, nh»m më réng c¸c kÕt qu¶ ®· cã vÒ tÝnh æn ®Þnh ®èi víi ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh. §èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n, Akinnyele ([1]) ®· ®−a ra kh¸i niÖm Ψ-æn ®Þnh, Ψ-bÞ chÆn. Cã nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m ®Õn h−íng nghiªn cøu nµy nh− Avamescu, Constantin... (xem [2], [4] - [8]). §èi víi ph−¬ng tr×nh sai ph©n, gÇn ®©y Y. Han vµ J. Hong ([9]) ®· chØ ra mét sè tiªu chuÈn vÒ sù tån t¹i nghiÖm Ψ-bÞ chÆn cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh trong »n: x(n+1) = A(n) x(n)+f(n), (2) n trong ®ã {f(n), n ≥ 0} lµ d·y nhËn gi¸ trÞ trong » . C¸c t¸c gi¶ cña [1], [2], [4] - [9] chØ xÐt bµi to¸n trong »n vµ Ψ(t), t ∈» (hoÆc Ψ(n), n ∈» = {0,1,2...} ) lµ ma trËn ®−êng chÐo, mçi phÇn tö trªn ®−êng chÐo lÊy gi¸ trÞ trong (0, +∞). Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i x©y dùng kh¸i niÖm Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ-æn ®Þnh mò cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach vµ chØ ra mét sè tiªu chuÈn ®Ó chóng Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ-æn ®Þnh mò víi {Ψ(n), n ≥ 0} lµ d·y to¸n tö tuyÕn tÝnh cña B kh¶ nghÞch víi mäi n ∈». Chóng t«i sö dông to¸n tö dÞch chuyÓn lµm c«ng cô nghiªn cøu ®iÒu kiÖn Perron cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh. NhËn bµi ngµy 14/7/2008. Söa ch÷a xong 22/8/2008. 5 VÒ sù Ψ-æn ®Þnh cña ... kh«ng gian banach, Tr. 5-12 P.N. Béi, H. V. Th nh 1.1. §Þnh nghÜa ([10]). a) Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ Ψ-æn ®Þnh ®Òu trªn » nÕu víi mçi ε > 0 tån t¹i δ = δ (ε) > 0 sao cho mçi mét nghiÖm bÊt kú {x(n)} cña ph−¬ng tr×nh (1) trªn [n0, ∞), víi n0 tuú ý thuéc » nÕu tho¶ m·n Ψ (n0 ) x(n0 ) < δ th× Ψ (n) x(n) < ε víi mäi n ≥ n0. b) Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ Ψ-æn ®Þnh mò trªn » nÕu tån t¹i c¸c sè d−¬ng K vµ q, q < 1 sao cho nÕu {x(n), n∈»} lµ nghiÖm bÊt kú cña ph−¬ng tr×nh (1) th× Ψ (n) x(n) ≤ Kq n −m Ψ (m) x(m) víi mäi n, m thuéc », n ≥ m ≥ 0. 1.2. Chó ý. DÔ thÊy ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò trªn » th× còng Ψ-æn ®Þnh ®Òu trªn ». Trong tr−êng hîp, c¸c d·y {Ψ(n), n ≥ 0} vµ {Ψ -1(n), n ≥ 0} bÞ chÆn (nãi riªng khi {Ψ(n), n ≥ 0} lµ d·y to¸n tö ®ång nhÊt) th× kh¸i niÖm Ψ- æn ®Þnh ®Òu (t−¬ng øng Ψ-æn ®Þnh mò) cña ph−¬ng tr×nh (1) ®ång nhÊt víi kh¸i niÖm æn ®Þnh ®Òu (t−¬ng øng æn ®Þnh mò) cña ph−¬ng tr×nh (1). II. c¸c kÕt qu¶ Trong bµi b¸o nµy ta gi¶ thiÕt r»ng Ψ ( n) A( n − 1)Ψ −1 ( n), n = 1, 2, ... lµ d·y to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn ®Òu Ψ (n) A(n − 1)Ψ −1 (n − 1) ≤ C < ∞, n =1, 2, ... . (3)  A(n − 1) A(n − 2)... A(m) , n > m Ký hiÖu X ( n, m) =  , ,n=m I trong ®ã I lµ to¸n tö ®ång nhÊt. X(n, m) ®−îc gäi lµ to¸n tö gi¶i cña ph−¬ng tr×nh (1) 2.1. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh ®Òu nÕu vµ chØ nÕu sup Ψ (n) X (n, m)Ψ −1 (m) ≤ K < ∞ . (4) n ≥ m ≥0 Chøng minh. DÔ thÊy nghiÖm x = {x(n), n ∈»} cña ph−¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n: x(n) = X(n,m)x(m) víi mäi n ≥ m≥ 0 . Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh ®Òu ...