Bất biến của giới hạn thuận qua phép lấy thương

Bài báo chứng minh giới hạn thuận được bảo toàn qua phép lấy thương đối với hệ thuận tổng quát. Đây là sự mở rộng một số kết quả xét trên một số hệ thuận đặc biệt của J. J. Rotman.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất biến của giới hạn thuận qua phép lấy thươngTẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017BẤT BIẾN CỦA GIỚI HẠN THUẬN QUA PHÉP LẤY THƯƠNGPhạm Thị Bích Hà1, Lê Xuân Dũng2TÓM TẮTBài báo chứng minh giới hạn thuận được bảo toàn qua phép lấy thương đối với hệthuận tổng quát. Đây là sự mở rộng một số kết quả xét trên một số hệ thuận đặc biệt củaJ. J. Rotman.Từ khóa: Giới hạn thuận, A-môđun trái.1. GIỚI THIỆUCho R là một vành và {M i }iI là họ các R-môđun trái (gọi tắt là R-môđun) trên tậpsắp thứ tự bộ phận I . Giới hạn thuận của {M i }iI luôn tồn tại (xem trong [3], [5], [6]). Ngaysau khi ra đời các khái niệm này có những ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khácnhau của Đại số và Hình học đại số, chẳng hạn đối với Đại số giao hoán trong [4, Section 1]đưa ra cách tính môđun đối đồng địa phương thông qua tính giới hạn thuận. Để phát huyhiệu quả ứng dụng của khái niệm giới hạn thuận trong các lĩnh vực khác, các nhà toán họcquan tâm nghiên cứu đến cấu trúc và tính bất biến của giới hạn thuận qua một số phép toán(xem trong [1], [2], [3], [4]).Mục đích chính của bài báo này là mở rộng các kết quả của phép lấy giới hạn thuậnqua phép lấy thương của J. J. Rotman [5, Section 5.2].Ngoài phần giới thiệu, bài báo chia thành hai mục. Mục 2 xây dựng một hệ thuận mớitừ hai hệ thuận ban đầu (Mệnh đề 2.4). Mục 3 trình bày kết quả chính của bài báo về tínhbất biến của giới hạn thuận qua phép lấy thương (Định lý 3.4) và khi xét hai hệ thuận đặcbiệt ta nhận được các kết quả của J. J. Rotman [5, Section 5.2] (Hệ quả 3.5, Hệ quả 3.6).2. HỆ THUẬNTrong bài viết luôn giả thiết R là vành và M là R-môđun trái (gọi tắt là R-môđun).Giả sử I là một tập sắp thứ tự bộ phận, không mất tính tổng quát ta kí hiệu quan hệ đó là  . Một tập sắp thứ tự bộ phận I được gọi là một tập định hướng nếu với mọi i, j  I luôntồn tại k  I sao cho i  k và j  k .Định nghĩa 2.1. Giả sử Gi iI là một họ các R-môđun và I là một tập tựa sắp thứ tựbộ phận. Gi iI gọi là một hệ thuận các R-môđun ứng với tập chỉ số I nếu với mọi i, j  Isao cho i  j luôn tồn tại một đồng cấu  ij : Gi  G j thỏa mãn hai điều kiện sau:1, 244Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng ĐứcTẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 ii : Gi  Gi là đồng cấu đồng nhất với mọi i  I .Nếu k  I sao cho i  j  k thì  ki   kj . ij , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:Hệ thuận được định nghĩa như trên kí hiệu là G  Gi , ij .Ví dụ 2.2. Cho dãy các môđun con của R-môđun M như sau:M 0  M1    M n  Khi đó, ta có họ M i , ij (i  j )là hệ thuận trên tập định hướng , trong đó ij : M i  M j là phép nhúng từ M i vào M j .Ví dụ 2.3. Đặt   {A |A là môđun con của M }. Theo [3, Ví dụ 2.5], ta xem  làAtập chỉ số trên chính nó và họ A,  A , A  A là hệ thuận trên tập định hướng .Giả sử M , N là các R-môđun sao cho tồn tại một đơn cấu các R-môđun f : N  M . A ,iij(i  j )Muvà Bu ,  v (u  v)Nlần lượt là các hệ thuận các môđun con tương ứngcủa M và N trên các tập định hướng M và N, trong đó  ij và  vu là các phép nhúng. Giả sửihai họ A = Ai ,  j (i  j )Muvà B = B,  v (u  v)Nthỏa mãn tính chất sau: với mọiu  N tồn tại i  M sao cho f ( Bu )  Ai . Khi đó ta có thể xây dựng được hệ thuận mới từhai họ A, B như sau:Mệnh đề 2.4. Giả sử ta có hai môđun M , N và hai họ môđun con A, B thỏa mãn cácđiều kiện như trong lập luận trên. Khi đóĐặt   {( Ai , Bu )  ( A,B) | f ( Bu )  Ai } cùng với quan hệ  , xác định như sau:( Ai , Bu )  ( Aj , Bv ) nếu i  j và u  v và I là một tập định hướng.Tồn tại họ đồng cấu ((ij,,uv )) : Ai / f ( Bu )  Aj / f ( Bv ), trong đó i  j , u  v sao cho họcác phần tử {( Ai , Bu ), (( ij,,uv )) (i  j , u  v)} là một hệ thuận trên tập định hướng .Chứng minh.Với mọi cặp phần tử ( Ai , Bu ),( A j , Bv )  I ( f ( Bu )  Ai , f ( Bv )  Aj ), do N là tậpđịnh hướng nên tồn tại wN sao cho u , v  w . Khi đó tồn tại k  M sao chof ( Bw )  Ak . Vì M là tập định hướng nên tồn tại t M sao cho i, j , k  t nên45TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017f ( Bw )  At . Do vậy ( At , Bw )  I và thỏa mãn ( Ai , Bu ), ( Aj , Bv )  ( At , Bw ) . Vậy  là tậpđịnh hướng.Với mọi cặp phần tử ( Ai , Bu ), ( Aj , Bv )  , i  j , u  v luôn xác định dãy đồng cấui ( i ,u )uj( j ,v ) Aj / f ( Bu )  Aj / f ( Bv ) ,các R-môđun Ai / f ( Bu ) trong đó i (ji ,u ) (ai  f ( Bu ))   ij (ai )  f ( Bu ) và  (uj ,v ) (a j  f ( Bu ))  a j  f ( Bv ).Đặt ((ij,,uv ))   (uj ,v )i (ji ,u ) , ((ij,,uv )) (ai  f ( Bu ))   ij (ai )  f ( Bv ).Giả sử ( Ai , Bu )  ( Aj , Bv )  ( At , Bw ). Ta có((t ,jw,v)) ((ij,,uv )) (ai  f ( Bu ))   ((t ,jw,v)) ( ij (ai )  f ( Bv ))  t j ( ij (ai ))  f ( Bw ) ti (ai )  f ( Bw )  ((ti,,wu )) (ai  f ( Bu )).Vậy {( Ai , Bu )  J, ((ij,,uv )) ...