Bất đẳng thức lượng giác Chương 3: áp dụng vào một số vấn đề khác

Sau khi đã xem xét các bất đẳng thức lượng giác cùng phương pháp chứng minh thì ta phải biết vận dụng những kết quả đó vào các vấn đề khác .
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức lượng giác Chương 3: áp dụng vào một số vấn đề khácTruòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khácChương 3 : Áp d ng vào m t s v n ñ khác “Có h c thì ph i có hành” Sau khi ñã xem xét các b t ñ ng th c lư ng giác cùng các phương pháp ch ng minhthì ta ph i bi t v n d ng nh ng k t qu ñó vào các v n ñ khác. Trong các chương trư c ta có các ví d v b t ñ ng th c lư ng giác mà d u b ngthư ng x y ra trư ng h p ñ c bi t : tam giác ñ u, cân hay vuông …Vì th l i phát sinhra m t d ng bài m i : ñ nh tính tam giác d a vào ñi u ki n cho trư c. M t khác v i nh ng k t qu c a các chương trư c ta cũng có th d n ñ n d ng toántìm c c tr lư ng giác nh b t ñ ng th c. D ng bài này r t hay : k t qu ñư c “gi u” ñi,b t bu c ngư i làm ph i t “mò m m” ñi tìm ñáp án cho riêng mình. Công vi c ñó th tthú v ! Và t t nhiên mu n gi i quy t t t v n ñ này thì ta c n có m t “v n” b t ñ ng th c“kha khá”. Bây gi chúng ta s cùng ki m tra hi u qu c a các b t ñ ng th c lư ng giác trongchương 3 : “Áp d ng vào m t s v n ñ khác” M cl c: 3.1. ð nh tính tam giác…………………………………………………………67 3.1.1. Tam giác ñ u…………………………………………………………..67 3.1.2. Tam giác cân…………………………………………………………..70 3.1.3. Tam giác vuông………………………………………………………..72 3.2. C c tr lư ng giác……………………………………………………….....73 3.3. Bài t p……………………………………………………………………...76The Inequalities Trigonometry 66Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác3.1. ð nh tính tam giác :3.1.1. Tam giác ñ u : Tam giác ñ u có th nói là tam giác ñ p nh t trong các tam giác. nó ta có ñư c sñ ng nh t gi a các tính ch t c a các ñư ng cao, ñư ng trung tuy n, ñư ng phân giác,tâm ngo i ti p, tâm n i ti p, tâm bàng ti p tam giác … Và các d ki n ñó l i cũng trùngh p v i ñi u ki n x y ra d u b ng các b t ñ ng th c lư ng giác ñ i x ng trong tamgiác. Do ñó sau khi gi i ñư c các b t ñ ng th c lư ng giác thì ta c n ph i nghĩ ñ n vi cv n d ng nó tr thành m t phương pháp khi nh n d ng tam giác ñ u.Ví d 3.1.1.1. 9 CMR ∆ABC ñ u khi th a : ma + mb + mc = R 2L i gi i : Theo BCS ta có : ( (ma + mb + mc )2 ≤ 3 ma 2 + mb 2 + mc 2 ) 9 2 ⇔ (ma + mb + mc ) ≤ 2 4 ( a + b2 + c2 ) 2 ( ⇔ (ma + mb + mc ) ≤ 9 R 2 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) 9mà : sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 4 9 81 ⇒ (ma + mb + mc ) ≤ 9 R 2 ⋅ = R 2 2 4 4 9 ⇒ m a + mb + mc ≤ R 2 ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u ⇒ ñpcm.Ví d 3.1.1.2. A B ab CMR n u th a sin sin = thì ∆ABC ñ u. 2 2 4cL i gi i : Ta có :The Inequalities Trigonometry 67Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác A+ B A− B A− B 2 R.2 sin cos cos ab a + b 2 R(sin A + sin B ) 2 2 = 2 ≤ 1 ≤ = = 4c 8c 2 R.8 sin C C C C A+ B 2 R.8.2 sin cos 8 sin 8 cos 2 2 2 2 A B 1 ⇒ sin sin ≤ 2 2 A+ B 8 cos 2 A+ B A B ⇔ 8 cos sin sin ≤ 1 2 2 2 A+ B A− B A+ B ⇔ 4 cos  cos − cos  −1 ≤ 0 2  2 2  A+ B A+ B A− B ⇔ 4 cos 2 − 4 c ...