Các bài toán lý thú về sự liên hệ giữa đẳng thức và bất đẳng thức - Nguyễn Duy Liên

Bất đẳng thức là một dạng toán khó thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng như thi tuyển sinh đầu cấp học trung học phổ thông, thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp trung học cơ sở, trung học phổ thông,... Bài viết "Các bài toán lý thú về sự liên hệ giữa đẳng thức và bất đẳng thức" giới thiệu về một số đẳng thức và ứng dụng vào giải quyết các bài toán bất đẳng thức. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các bài toán lý thú về sự liên hệ giữa đẳng thức và bất đẳng thức - Nguyễn Duy LiênCÁC BÀI TOÁN LÝ THÚ VỀ SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Nguyễn Duy Liên Trường THPT Chuyên VĩnhPhúcThếgiớichúngtađangsốngluôntiềmẩnvôvànnhữngquyluậttựnhiênvàxãhội,kháchquancũngnhưchủquan.Việcnắmbắt,vậndụngnhữngquyluậtđóđãtrở thànhchìakhóagiảiquyếtnhiềuvấnđề quantrọngtrongkhoahọcnói riêngvàtrongcuộcsốngnóichung.Bấtđẳngthứclàmộtdạngtoánkhóthườngxuấthiệntrongcáckỳ thiquan trọngnhư thituyểnsinhđầucấphọctrunghọcphổ thông,thiđạihọc,thihọc sinhgiỏicáccấptrunghọccơsở,trunghọcphổthôngvàthihọcsinhgiỏiquốc gia,quốctế…Cóngườitạorabàitoánmớibấtđẳngthứcrấtngẫunhiêntừviệcđigiảicácbàitoáncủangườikhác.Cóngườilạitạorabàitoánmớibấtđẳngthứctừcácđẳngthứcquenthuộcvớiđasốmọingười…Bàiviếtnhỏnày tôigiớithiệuvềmộtsốđẳngthứcvàứngdụngvàogiảiquyếtcácbàitoánbất đẳngthức.Để bàiviếtđượcngắngọn,tôixinkhôngchứngminhlạimộtsốkiếnthứccơbản. I.CÁCBÀITOÁNMINHHỌA.Đẳngthức1. ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( ac + bd ) + ( ad − bc ) ,vớimọi a, b, c, d 2 2 ﾡ .Sauđâylàmộtsốbàitoánápdụngcủađẳngthức1.Vídụ1:(WolfgangBerndt).Chứngminhrằngvớimọisốthực a, b, c tađềucó 2 ( 1 + abc ) + 2 ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ( 1 + c 2 ) ( 1 + a) ( 1 + b) ( 1 + c)Chứngminh.ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchySchwarz,tacó 2 ( 1 + a 2 ) ( 1 + b2 ) ( 1 + c 2 ) = � (�a + b ) + ( ab − 1) � ( � ) ( ) � 2 2 2 2 c + 1 + 1 − c �� � ( a + b ) ( c + 1) + ( ab − 1) ( 1 − c ) ,suyraVT 2 ( 1 + abc ) + ( a + b ) ( c + 1) + ( ab − 1) ( 1 − c ) = ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) = VP (đpcm)Vídụ 2:(TituAndresscu,GabrielDospinescu).Giả sử a, b, c, d làcácsố thựcthỏa mãn điều kiện ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ( 1 + d ) = 16 , chứng minh bất đẳng 2 2 2 2thứcsau −3 ab + bc + ca + da + ac + bd − abcd 5Chứngminh.ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchySchwarz,tacó ( 1 + a 2 ) ( 1 + b2 ) �( 1 + c2 ) ( 1 + d 2 ) � ( 1 − ab ) + ( a + b ) � � ( � ) ( ) � 2 2 2 216 = � � �� � �= � cd − 1 + c + d �� � �= [ ab + bc + cd + da + ac + bd − abcd − 1] ( 1 − ab ) ( cd − 1) + ( a + b ) ( c + d ) � 2 2 � �� −4 �ab + bc + cd + da + ac + bd − abcd − 1 �4 từđócóđiềuphảichứngminh.Vídụ3:(KTĐTCVP).Giảsử a, b, c, d làcácsốthực,chứngminhbấtđẳngthức sau ( a ,b , c , d ) (1+ a ) (1+ b ) (1+ c ) 2 2 2 2 ( ab + bc + cd + da + ac + bd − 2 ) .Chứngminh.ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchySchwarz,tacó (1+ a ) (1+ b ) (1+ c ) = � ( a + b ) + ( ab − 1) �� � ( a + b ) c + ( ab − 1) 2 2 2 2 2 c 2 + 12 � � ��Hoàntoàntươngtựtacũngcó ( 1 + b ) ( 1 + c ) ( 1 + d ) ...