CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC

Tài liệu ôn tập tham khảo môn Toán về các bài toán trong tam giác dành cho học sinh hệ trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp và ôn thi đại học - cao đẳng tham khảo học tập và củng cố kiến thức. Chúc các bạn may mắn trong kỳ thi sắp tới
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌCBài toán 1.(ĐH Dược HN - A1999) a cos A + b cos B + c cos C 1Tam giác ABC thoả: = . a+b+c 2Chứng minh tam giác ABC đều.Lời giải.Cách 1.a cos A + b cos B + c cos C 1 = ⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC a+b+c 2 A B C A B C⇔ sinAsinBsinC = cos cos cos ⇔ 8sin sin sin = 1 ⇔ 2 2 2 2 2 2 A⎛ B−C B+C ⎞ A B −C A⇔ 4sin ⎜ cos − cos ⎟ = 1 ⇔ 4sin 2 − 4 cos sin + 1 = 0 ⇔ 2 ⎝ 2 2 ⎠ 2 2 2 ⎧ B−C ⎛ A B−C ⎞ 2 2 B −C ⎪cos 2 = 1 ⎪ π⇔ ⎜ 2sin − cos ⎟ + 1 − cos =0 ⇔ ⎨ ⇔ B = C, A = . ⎝ 2 2 ⎠ 2 ⎪sin A = 1 3 ⎪ ⎩ 2 2Cách 2.a cos A + b cos B + c cos C 1 = ⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC a+b+c 2 A B C A B C⇔ sinAsinBsinC = cos cos cos ⇔ 8sin sin sin = 1(1) 2 2 2 2 2 2 A B CTa chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC: 8sin sin sin ≤ 1. Dấu đẳng 2 2 2thức xảy ra khi chỉ khi A = B = C. Thật vậy: B −C B+C ⎞ sin sin ≤ 1 ⇔ ⇔ 4sin ⎛ cos A B C A8sin ⎜ − cos ⎟ ≤ 1 2 2 2 2 ⎝ 2 2 ⎠ 2 A B −C A ⎛ A B−C ⎞ 2 B −C⇔ 4sin 2 − 4 cos sin + 1 ≥ 0 ⇔ ⎜ 2sin − cos ⎟ + 1 − cos ≥0 ⇔ 2 2 2 ⎝ 2 2 ⎠ 2 ⎧ B−C ⎪cos 2 = 1 ⎪ πDấu đẳng thức xảy ra chỉ khi ⎨ ⇔ B = C, A = . ⎪sin A = 1 3 ⎪ ⎩ 2 2Cách 3.a cos A + b cos B + c cos C 1 = ⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC a+b+c 2Ta chứng minh sin2A + sin2B + sin2C ≤ sinA + sinB + sinC (2) 1Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi A = B = C. Thật vậy:sin2A + sin2B = 2sin(A + B)cos(A - B) = 2sinCcos(A - B) ≤ 2sinCDấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1 ⇔ A = B.Tương tự : sin2B + sin2C ≤ 2sinADấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1 ⇔ B = C.sin2C + sin2A ≤ 2sinBDấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1 ⇔ C = A.Cách 4.áp dụng định lý chiếu: a = bcosC + ccosB a cos A + b cos B + c cos C 1 = a+b+c 2⇔ 2(acossA+bcosB +ccosC) = bcosC+ccosB+ccosA+acosC+ acosB + bcosA⇔ a(cosA - cosB) + b(cosB - cosC) + c(cosC - cosA) + a(cosC - cosA) ++ b(cosB - cosA) + c(cosC - cosB) = 0⇔ (a - b)( cosA - cosB) + (b - c) (cosB - cosC) + (c - a) (cosC - cosA) = 0. ⎧(a − b)(cos A − cos B) = 0 ⎪⇔ ⎨(b − c)(cos B − cos C ) = 0 ⇔ a = b = c ⎪(c − a)(cos C − cos A) = 0 ⎩Bài toán 2.(ĐHQG HN - A1999) Trong tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu: cos2A + cos2B + cos2C ≥ - 1 thì :sinA + sinB + sinC ≤ 1 + 2Lời giải.cos2A + cos2B + cos2C ≥ - 1 ⇔ - 1 - 4cosAcosBcosC ≥ - 1 ⇔ 4cosAcosBcosC≤ 0 ⇔ Δ ABC không nhọn. π π C π C 2Giử sử C lớn nhất. Suy ra ≤ C < π ⇔ ≤ < ⇒ cos ≤ 2 4 2 2 2 2 C A− B CsinA + sinB + sinC = 2 cos cos + sin C ≤ 2 cos + sin C ≤ 2 + 1 2 2 2Bài toán 3.(ĐH Vinh - B1999) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả : ⎧sin B + sin C = 2sin A ⎨ thì tam giác ABC đều. ...