Các bài toán về Đa thức - Nghiệm của Đa thức - Nguyễn Minh Đức

Tài liệu Các bài toán về Đa thức - Nghiệm của Đa thức tổng hợp một số bài toán liên quan đến đa thức - nghiệm của đa thức và chủ yếu là tam thức bậc hai và nghiệm của tam thức bậc hai. Mỗi bài sẽ có đáp án hoàn chỉnh để mọi người tham khảo. Mời các bạn tham khảo tài liệu để củng cố kiến thức về lĩnh vực này.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các bài toán về Đa thức - Nghiệm của Đa thức - Nguyễn Minh Đức Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 K10A THPT Lê Quảng Chí- Hà Tĩnh Các bài toán về “ Đa thức-Nghiệm của Đa thức” Toán THPT _____________________________Chuyên đề là tổng hợp một số bài toán liên quan đến đa thức-nghiệm của đa thức và chủ yếu là tam thức bậchai và nghiệm của tam thức bậc hai.Mỗi bài sẽ có đáp án hoàn chỉnh để mọi người tham khảo (tất nhiên đó chưa phải là đáp án hay nhất).Mong được có ý kiến đóng góp! Facebook: www.facebook.com/gaulovemiu1604Bài 1: Cho phương trình: x  x  5  0. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình.Đặt: Sn  x1n  x2n (n  N ) . 5Chứng minh rằng: S2007   . Giải:  x  x 1 5  0  2  n2 n 1  x1  x1  5 x1  0 n   n2 (n  N ) 1Vì x1 , x2 là nghiệm của phương trình nên:  2 n 1   2 x  x 2 5  0   2 x  x2  5 x2 n  0 Sn2  Sn1  5Sn  0  Sn2  Sn1  5Sn (n  N ) . S  1Dễ thấy:  1  S2  21 S3 , S4 ,...    S2007  Z (Dpcm)Bài 2:Biết rằng phương trình: x4  2 x2  3x  1  0 (1) có nghiệm dương x0 .Chứng minh rằng: 162  x0  2 9 Giải:Với x0 là nghiệm dương của phương trình (1),khi đó:x04  2 x02  3x0  1  0  x04  2 x02  3x0  1  x04  3 3 6 x03 (Theo AM-GM) x0  3 3 6  x0  9 162 .Tuy nhiên dấu “=” không xảy ra,do đó: x0  9 162. (*)Mặt khác,xét hàm số y  f ( x)  x  2 x  3x  1 trên khoảng (2; ) : 4 2 f ( x1 )  f ( x2 )Với mọi x1; x2  (2; ), x1  x2 ta có: x1  x2    ( x1  x2 ) x12  x22  2  3  0 Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng (2; ) x  2  f ( x)  f (2)  1Vậy phương trình (1) không có nghiệm lớn hơn 2.Dễ thấy x0  2  x0  2 (**)Từ (*) và (**) ta có điều phải chứng minh.Bài 3:Cho đa thức P( x)  x15  2009 x14  2009 x13  ...  2009 x2  2009 x. Hãy tính P(2008)? Giải: Với mỗi n  Z ,ta có:xn2  2009n1  2008n  xn ( x 1)( x  2008) .Do đó:P( x)  ( x15  2009 x14  2008 x13 )  (x13  2009 x12  2008 x11 )  ...  (x 3  2009 x 2  2008 x)  x P( x)  ( x13  x11  ...  x)( x  1)( x  2008)  x P(2008)  2008.Bài 4: Chứng minh rằng đa thức: A  x9999  x8888  x7777  x6666  x5555  x4444  x3333  x2222  x1111  1 chia hếtcho đa thức: B  x9  x8  x7  x6  x5  x4  x3  x2  x  1 . Giải: 1 Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 K10A THPT Lê Quảng Chí- Hà TĩnhTa có:A  B  ( x9999  x9 )  ( x8888  x8 )  ...  ( x1111  x)  x9 ( x10 )999  1  x8 ( x10 )888  1  ...  x ( x10 )111 1 x10  1Suy ra: A  B chia hết cho x10  1 do đó A  B chia hết cho B  x 1Vậy A chia hết cho B.Bài 5: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c thỏa mãn điều kiện: f (1)  1; f (0)  1; f (1)  1. Tìm giá trịlớn nhất của f ( x) với x   1;1 . ...