Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên_chương 7

Từ luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rút ra và số đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên đó ( giúp ta so sánh giữa các đại lượng với nhau) được gọi là các đặc trưng số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên_chương 7Chöông V. CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN§1. Caùc ñaëc tröng soáTöø luaät phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân ruùt ravaøi soá ñaëc tröng cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoù (giuùpta so saùnh giöõa caùc ñaïi löôïng vôùi nhau) ñöôïc goïi laøcaùc ñaëc tröng soá.1.1. Mod[X] (mode)Ñònh nghóaMod[X] laø giaù trò maø taïi ñoù X nhaän xaùc suaát lôùnnhaát (neáu X rôøi raïc) hay haøm maät ñoä ñaït cöïc ñaïi(neáu X lieân tuïc). VD Cho X rôøi raïc coù luaät phaân phoái X 0 1 2 4 5 8 PX 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 0,1 Mod[X] = 2. :1.2. Trung vò X (Med[X])Trung vò laø 1 giaù trò cuûa X maø taïi ñoù xaùc suaát ñöôïc : : é ù é ùchia ñoâi, nghóa laø P êX £ X ú = P êX ³ X ú . ë û ë ûVD Cho X rôøi raïc coù luaät phaân phoái X 1 2 3 4 5 PX 0,1 0,2 0,15 0,1 0,45 : X = Med[X] = 41.3. Kyø voïng toaùn M(X)1.3.1. Ñònh nghóa Cho X rôøi raïc coù phaân phoái X x1 x 2 … x i … x n PX p1 p2 … pi … pn thì n M(X) = x1p1 + x 2 p 2 + ... + x n p n = ∑ x i pi +∞ i =1+ Neáu X lieân tuïc thì M(X) = ∫ xf (x)dx . −∞VD Trong bình ñöïng 10 quaû caàu gioáng nhau nhöngkhaùc troïng löôïng goàm 5 quaû naëng 1kg, 2 quaû 2kg vaø3 quaû 3 kg. Laáy ngaãu nhieân 1 quaû, goïi X laø troïnglöôïng quaû caàu ñoù. X coù luaät phaân phoái X 1kg 2kg 3kg PX 0,5 0,2 0,3Suy ra M(X) = 1.0,5 + 2.0,2 + 3.0,3 = 1,8kg.1.3.2. YÙ nghóaKyø voïng laø giaù trò trung bình (theo xaùc suaát) cuûa ñaïilöôïng ngaãu nhieân X, laø trung taâm ñieåm cuûa phaânphoái maø caùc giaù trò cuï theå cuûa X seõ taäp trung quanhñoù. Baøi toaùnCho ñaïi löôïng ngaãu nhieân X vaø Y = ϕ(X) .Tính M(Y) = M[ϕ(X)].a/ Tröôøng hôïp X rôøi raïc X x1 x2 … xi … PX xn p1 p2 … pi …Xeùt baûng pn ϕ(X) ϕ(x1 ) ϕ(x 2 ) … ϕ(x i ) … ϕ(x n ) PY p1 p2 … pi … pn n M[ϕ(X)] = ∑ ϕ(x i )pi i =1VD Cho Y = j (X) = X2, bieát X –1 0 1 2 PX 0,1 0,3 0,4 0,2Ta coù j (X) 1 0 1 4 PY 0,1 0,3 0,4 0,2Þ M[j (X)] = 1.0, 1+ 0.0, 3+ 1.0, 4+ 4.0, 2 = 1, 3b/ Tröôøng hôïp X lieân tuïc coù haøm maät ñoä f(x) +¥ thì M[j (X)] = ò j (x)f(x)dx. - ¥ Chuù yù Trong baûng phaân phoái cuûa X coù moät Mod[X] vaø ñoái : xöùng thì Mod[X] = X = M(X). VD X 1 2 4 6 7 PX 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 1.4. Phöông sai D(X)1.4.1. Ñònh nghóa D(X) = M{[X - M(X)]2 } hoaëc D(X) = M[(X - m 2 ], m = M(X). ) VD X 1 2 3 PX 0,2 0,7 0,1 m = M(X) = 1.0, 2 + 2.0, 7 + 3.0, 1 = 1, 9 2 2 2Þ D(X)=(1 -1,9) .0,2+(2 -1,9) .0,7+(3 -1,9) .0,1Coâng thöùc thöôøng duøng 2 2 D(X) = M(X ) - [M(X)]Khi ñoù n n 2 æ ö D(X) = å x p j - ç å x jp j ÷ , X rôøi raïc. 2 j ç ÷ ÷ j= 1 ç j= 1 è ø +¥ +¥ 2 æ ö ÷ D(X) = ò x 2 f(x)dx - ç ò xf(x)dx ÷ , X lieân tuïc. ç ÷ ç è- ¥ ÷ ø - ¥VD Trong ví duï treân ta coù D(X) = 1 .0, 2 + 2 .0, 7 + 3 .0, 1 - (1, 9) . 2 2 2 21.4.2. YÙ nghóa Phöông sai laø sai soá bình phöông trung bình cuûa ñaïilöôïng ngaãu nhieân X so vôùi trung taâm ñieåm kyø voïng.Phöông sai duøng ñeå ño möùc ñoä phaân taùn cuûa Xquanh kyø voïng.1.5. Ñoä leäch tieâu chuaån s(X) = D(X) Baøi taäpBaøi 1. Moät baø meï sinh 2 con (moãi laàn sinh 1 con).Xaùc suaát sinh con trai laø 0,51. Goïi X laø soá con traitrong 2 laàn sinh. Tính kyø voïng vaø phöông sai cuûa X.Baøi 2. Moät loâ haøng goàm 10 saûn phaåm toát vaø 2 pheáphaåm. Laáy ngaãu nhieân 2 saûn phaåm töø loâ haøng ñoù,goïi X laø soá pheá phaåm trong 2 saûn phaåm laáy ra. Tínhkyø voïng vaø phöông sai cuûa X.Baøi 3. Theo thoáng keâ, moät ngöôøi Myõ 25 tuoåi seõsoáng theâm treân 1 naêm coù xaùc suaát laø 0,992 vaø ngöôøiñoù cheát trong voøng 1 naêm tôùi laø 0,008. Moät chöôngtrình baûo hieåm ñeà nghò ngöôøi ñoù baûo hieåm sinhmaïng cho 1 naêm vôùi soá tieàn chi traû laø 1000 USD,phí baûo hieåm laø 10 USD. Hoûi coâng ty ñoù coù laõikhoâng ?Baøi 4. Moät ngöôøi mua 1 veù xoå soá trò giaù 2.000 ñoàng.Bieát raèng veù soá coù 6 chöõ soá. Cô caáu truùng giaûi:+ Moät giaûi 8 truùng 2 chöõ soá cuoái thöôûng 20.000ñ.+ Moät giaûi 7 truùng 3 chöõ soá cuoái thöôûng 50.000ñ.+ Naêm giaûi 6 truùng 4 chöõ soá cuoái thöôûng 100.000ñ.+ Hai giaûi 5 truùng 4 chöõ soá cuoái thöôûng 200.000ñ.+ Ba giaûi 4 truùng 5 chöõ soá cuoái thöôû ...