Các dạng bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Tài liệu tham khảo Các dạng bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các dạng bài toán liên quan đến khảo sát hàm số September 11, 2010 [CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS] Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚCCho hàm số y = f ( x ) ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau: Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) . − Tính đạo hàm và giá trị f ( x0 ) . −Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 .Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) có hệ số góc k = f ( x0 ) Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k . −Giải phương trình: f ( x ) = k , tìm nghiệm x0 ⇒ y0 . −Phương trình tiếp tuyến dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 .Chú ý: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 , khi đó: −Nếu d //∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = a. 1 −Nếu d ⊥ ∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = − . a Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A ( x A ; y A ) ∉ ( C ) . −Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( d ) : y = k ( x − x A ) + y A  f ( x ) = k ( x − xA ) + y A  −Điều kiện tiếp xúc của ( d ) và ( C ) là hệ phương trình sau phải có nghiệm:   f ( x) = k Tổng quát: Cho hai đường cong ( C ) : y = f ( x ) và ( C ) : y = g ( x ) . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc  f ( x) = g ( x) với nhau là hệ sau có nghiệm.  .  f ( x) = g ( x) 1. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): i. Tại điểm có hoành độ x = 2 . ii. Tại điểm có tung độ y = 3. iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x − y + 2009 . iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d 2 : x + 24 y + 2009 . − x2 − x + 32. Cho hàm số y = có đồ thị là (C). x +1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): i. Tại giao điểm của (C) với trục tung. ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành. iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;− 1). iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = − 13. 2 x − x −13. Cho hàm số y = có đồ thị (C). x +1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0. 1 September 11, 2010 [CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS] c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0. d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).4. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệtA(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.Lời giải:Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 ⇔ x(x2 + mx + 1) = 0 (*) Đặt g(x) = x + mx + 1 . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0. 2 ∆g = m 2 − 4 > 0  m > 2 ⇔ ⇔ . g ( 0) = 1 ≠ 0   m < −2  S = xB + xC = −m Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0 ⇒ .  P = xB xC = 1 Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: f ′ ( xC ) f ′ ( xB ) = −1 ⇔ xB xC ( 3xB + 2m ) ( 3 xC + 2m ) = −1 ⇔ xB xC 9 xB xC + 6m ( xB + xC ) + 4m 2  = −1   ⇔ 1 9 + 6m ( − m ) + 4m  = −1 ⇔ 2m 2 = 10 ⇔ m = ± 5  2  (nhận so với điều kiện) x2 + 15. Cho hàm số y = . Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến ( C) hai xtiếp tuyến vuông góc.Lời giải:Gọi M(x0;y0). Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0. ...