CÁC ĐỊNH LÝ TÁCH TẬP LỒI

Mục tiêu của đề tài là trình bày các định lý tách tập lồi. Các định lý này có nhiều ứng dụng trong quy hoạch toán học. ABSTRACT The aim of this topic is to introduce separation theorem of convex sets. This theorem has many applications in mathematical programming.1. Mở đầu. Khái niệm tập lồi trong không gian vectơ là sự khái quát khái niệm hình lồi trong hình học sơ cấp. Nó giữ vai trò quan trọng trong nhiều vấn đề giải tích hàm. Đặc biệt, lý thuyết các hàm và tập lồi ( gọi là giải tích lồi)...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CÁC ĐỊNH LÝ TÁCH TẬP LỒITuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 CÁC ĐỊNH LÝ TÁCH TẬP LỒI THE SEPARATION THEOREM OF CONVEX SETS SVTH : TRẦN THỊ TỐ NHƯ. Lớp: 05TT, Trường Đại Học Sư Phạm. GVHD : THS.NGUYỄN HOÀNG THÀNH. Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm. TÓM TẮT Mục tiêu của đề tài là trình bày các định lý tách tập lồi. Các định lý này có nhiều ứng dụng trong quy hoạch toán học. ABSTRACT The aim of this topic is to introduce separation theorem of convex sets. This theorem has many applications in mathematical programming.1. Mở đầu. Khái niệm tập lồi trong không gian vectơ là sự khái quát khái niệm hình lồi trong hìnhhọc sơ cấp. Nó giữ vai trò quan trọng trong nhiều vấn đề giải tích hàm. Đặc biệt, lý thuyết cáchàm và tập lồi ( gọi là giải tích lồi) có nhiều ứng dụng trong lý thuyết các bài toán cực trị, quyhoạch toán học, cũng như trong nhiếu vấn đề kinh tế, kỹ thuật. Mục tiêu của đề tài là trình bày các định lý tách tập lồi. Các định lý này thường dùnglàm nền tảng của lý thuyết tối ưu hiện đại, mà một dạng tương đương của nó trong giải tíchhàm là định lý Hanh-Banach về khuếch phiếm hàm tuyến tính.Trước khi nêu ra kết quả chính, ta đưa ra một số khái niệm:Định nghĩa 1. (Tập afin) Trong không gian tuyến tính cho một tập con A khác rỗng. A đượcgọi là tập afin nếu với mọi x, y thuộc A thì cả đường thẳng qua x, y cũng thuộc A.   n ,  x, y  A, (1-  )x+  y  A. Tức là: A là tập afin nếu  Định nghĩa 2. (Tập lồi) Trong không gian tuyến tính cho tập con C khác rỗng. C được gọi là tập lồinếu với mọi a, b thuộc C thì đoạn thẳng chứa a, b đều thuộc C. Tức là: C là tập lồi nếu a, b  C,   0,1  a  1   b  C .Dĩ nhiên mọi tập afin đều là tập lồi.Tính chất 2. 1. Giao của một họ bất kì các tập lồi là một tập lồi.Tính chất 2.2. Trong không gian  n cho tập con D và E, khác rỗng. Nếu D,E là tập lồi, a làmột điểm ,  là số thực thì các tập sau đây cũng lồi. D+a = {x+a / x  D }, D-E = {x-y/ x  D, y  E},  D = {  x/ x  D}. D+E = {x+y/ x  D, y  E},Tính chất 2.3. Trong không gian  n cho tập con C khác rỗng. Khi đó clC là tập lồi.Định nghĩa 3. (Điểm bọc) Trong không gian  n cho tập con C khác rỗng. Điểm a  C gọi làđiểm bọc nếu với mọi x thuộc C, tồn tại số  >0 sao cho a-  (x-a) cũng thuộc C. Tập các điểm bọc của C, ký hiệu: riC. 284Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 Khi đó riC khác rỗng và là một tập lồi.Tính chất 2.4. Trong không gian  n cho tập lồi C khác rỗng. Nếu a  riC , b C thì mọi điểm u trênđoạn [a,b) -( tức là u = a  1   b với 0<   1 ) đều thuộc riC.Hệ quả 2.4.1. Cho C là tập lồi khác rỗng trong  n .Nếu a  riC thì x là điểm biên của C khi và chỉ khi x là điểm đầu tiên không thuộc riC trên nửađường thẳng phát xuất từ a đi qua x.2. Các kết quả chính.Định nghĩa 4. Trong không gian  n cho 2 tập C, D lồi khác rỗng và rời nhau. Cho    , Siêu phẳng t, x   ; t  0 tách 2 tập lồi C,D nếu sup t , x    inf t , y . yD xC Cho    , Siêu phẳng t, x   ; t  0 tách hẳn 2 tập C,D nếu sup t , x    inf t , y . yD xCBổ đề 1. Trong  n cho một tập lồi đóng C  0 và một điểm a  C. Bao giờ cũng có một điểmduy nhất x0  C sao cho: a  x 0 , x  x 0  0 ,  x C .Định lý tách I. Nếu 2 tập lồi C,D không rỗng mà rời nhau thì có một siêu phẳng tách chúng.Chứng minh. x  y x  C, y  D  C-D lồi và 0  C-DXét C-D :=Thật vậy, giả sử 0  C-D  x-y = 0  x = y  C  D (Vô lý)Đặt E := cl(C-D).a  ri C  D do 0  C-D  Điểm đầu tiên không thuộc ri C  D trên đoạn a,0 làmột điểm biên của C –D. Suy ra 0  E hoặc 0  E riE .*Nếu 0  E . Theo bổ đề 1 có: x 0  E : t  0  x 0  0 . t , x  x 0  0, x  E  t, z  0, x  E .Sao chosup t , z  0 . t, x  y  0, x  C, y  D . . t , x  sup t , x  t , y ,  y  D , x  C. xC t , x    t , y ,  y  D , x  C. Với  = sup t , x . xC  tách hai tập C, D. u*Nếu 0  E riE. Lấy một điểm u  riE và ...