Các phân phối thường dùng

PHÂN PHỐI BERNOUILLIPHÂN PHỐI NHỊ THỨCPHÂN PHỐI POISSONPHÂN PHỐI CHUẨNPHÂN PHỐI BÌNH THƯỜNGPHÂN PHỐI GAMMA, CHI BÌNH PHƯƠNGPHÂN PHỐI STUDENTPHÂN PHỐI FISHER
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các phân phối thường dùngTRƯỜNG ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH XÁC SUẤT THỐNG KÊ GV: TS. TRẦN ĐÌNH THANH CÁC PHÂN PHỐI THƯỜNG DÙNG PHÂN PHỐI BERNOUILLI PHÂN PHỐI NHỊ THỨC PHÂN PHỐI POISSON PHÂN PHỐI CHUẨN PHÂN PHỐI BÌNH THƯỜNG PHÂN PHỐI GAMMA, CHI BÌNH PHƯƠNG PHÂN PHỐI STUDENT PHÂN PHỐI FISHERI. PHÂN PHỐI BERNOUILLI: X ∼ B(1, p) 1. Định nghĩa: • Cho biến ngẫu nhiên X rời, lấy hai trị số 0, 1. BNN X gọi là có phân phối Bernouilli khi hàm mật độ  px (1 − p)1− x v ô ù ix = 0, 1f ( x) =  với 0 < p < 1 0 n ô i kh a ù c 1 − p khi x = 0  = p khi x = 1 0 khi nôi khaùc • Ký hiệu: X~B(1,p)• Kỳ vọng: EX = P• Phương sai: VarX = p(1-p) t• Hàm Moment: M( t ) = 1 − p + pe 2. Mô hình phân phối Bernouilli• Coi một thí nghiệm ngẫu nhiên có hai hậu quả: Ω = { ω, ω} •trong đó: P(ω)=p Gọi X là số lần ω xuất hiện thì X=0 hay X=1. Ta có: P(X = 1) = P(ω) = p P(X = 0 ) = P(ω) = 1 − p• Vậy X có mật độ 1− x p (1 − p) x vôùi = 0 ,1 x f(x) =  0 nôi khaùcNghĩa là X có phân phối Bernouilli.Mọi thí nghiệm ngẩu nhiên có hai hậuquả đều có phân phối Bernouilli.Ví dụ: • Tung con xúc sắc, lưu ý mặt nút 6.  Y = 1 neáumaët6 xuaáthieän  .   Y = 0 neáulaømaëtkhaùc   1 thì Y ~ B 1,   6• Quan sát về phái trong một lần sanh  z = 1 neáucon trai    z = 0 neáucon gaùi   1 thì Z ~ B 1,   2 II. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC: X ~ B(n, p)• 1. Định nghĩa:• Cho BNN X rời, lấy các trị số 0, 1, 2, …, n. X có phân phối nhị thức, khi hàm mật độ:  C x p x (1 − p) n − x ; vôùix : 0, 1, ..., n n f (x) =  0 ; nôi khaùc trong đó: 0 < p < 1.Ký hiệu: X~B(n,p)Kỳ vọng: E(X) = npPhương sai: σ = np(1 − p) 2 t nHàm Moment: M (t) = (1 − p + pe ) 2. Mô hình nhị thức:• Coi 1 thí nghiệm ngẫu nhiên có hai hậu quả: Ω = { ω, ω} vớ p( ω) = p i Ta lập lại thí nghiệm này n lần độc lập và quan tâm đến số lần xuất hiện trong n lần quan sát đó. Đặt Xi là kết quả lần quan sát thứ i 1 neáulaøω Xi =   0 neáulaøω• Gọi X là số lần xuất hiện trong n lần quan sát: X = X1 + X 2 +  + X n Vậy X lấy trị số: 0, 1, 2, …, n. Ta có: P( X = 0) = P( ω ) .P( ω )  P( ω ) = (1 − p) n P( X = 1) = P( ω ω ω ) +  + P( ω ω ω ) n− 1 1 n− 1 = np(1 − p) = C n p(1 − p) k k n−k P( X = k ) = C n p (1 − p)• Do đó hàm mật độ của X là:  C x p x (1 − p) n − x ; x = 0, 1, 2,..., n n f ( x) =  0 ; nôi khaùc Vậy: X có phân phối nhị thức. Mô hình nhị thức chính là thí nghiệm Bernouilli mà ta quan sát n lần độc lập.Ví dụ 1:• Tính khả năng sinh con trai trong một gia đình có 6 con. Giải: 1Ta có: P( ω) = P( trai ) = p = 2Gọi X số con trai trong 6 lần sinh.X= 0, 1, …,6.  1 X ~ B 6 ,   2  x  1  x  1  6− x  C 6     ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.f ( x) =   2   2  0 ; nôi khaùc Ta có bảng phân phối: X 0 1 2 3 4 5 6 P(x = k) 0.016 0.093 0.24 0.32 0.24 0.093 0.016+ XS có đúng 3 con trai. P(X = 3)=0.32+ XS có nhiều nhất 3 con trai.P( X ≤ 3) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) = 0.67Ví dụ 2:• Tại 1 địa phương tỷ lệ sốt rét là 25% dân số. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính khả năng để có 4 người bị sốt rét. Giải:Gọi X là số người bị sốt rét trong6 lần chọn:  1 X ~ B 6 ,   4  x  1 x 6−x  3 C 6     ; x = 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6.f ( x) =   4   4 0 ; nôi khaùc Ta có bảng phân phối: X 0 1 2 3 4 5 6 P(x) 0.18 0.33 0.29 0.14 0.03 0.02 0.0002 P(X = 4) = 3% Ví dụ 3:• Một lô thuốc (rất nhiều), có tỷ lệ hỏng p = 0.20. Ta lấy ngẫu nhiên 5 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong số lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ xác suất của X? Giải:Gọi X là số lọ hỏng trong 5 lọ lấy ra. thì: X ~ B( 5; 0.20)Hàm mật độ xác suất của X là:  C ( 0 ,2 ) ( 0 , 8 ) x x 5−x ; x = 0 , 1, ..., 5 . f( x ) =  5 0 ; nôi khaùcPhân phối nhị thức B(n,p) rấtthường gặp trong thực tế, tuy nhiênkhi n khá lớn, việc tính các xác suấtrất vất vả. ng hợp này ta tính gầnTrong trườđúng bởi phân phối Poisson.III. PHÂN PHỐI POISSON: X ~ P(λ ), (λ > 0) 1. Định nghĩa: Cho BNN X rời, lấy các trị số 0, 1, 2, …, X có phân phối Poisson, khi hàm mật độ có dạng.  λx e − λ  ; x = 0, 1, 2 , ... f ( x ) =  x! 0 ; nôi khaùcvôùi > 0λ  ...