Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa hai biến số

Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức có từ một biến số trở lên . Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về phương pháp tìm cực trị của biểu thức hai biến số nhờ miền giá trị , trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 ( hoặc G(x;y) ≥ 0 hoặc G(x;y) ≤ 0 ) ....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa hai biến số vÒ mét c¸ch t×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña biÓu thøc chøa hai biÕn sè §ç B¸ Chñ – Th¸i B×nh tÆng www.mathvn.comCó nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức cótừ một biến số trở lên . Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về phương pháp tìm cực trị của biểu thức haibiến số nhờ miền giá trị , trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước .Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 ( hoặc G(x;y) ≥ 0 hoặc G(x;y) ≤ 0 ) . Tìm GTLN , GTNN ( nếu có ) của biểu thức P = F(x ; y).Cách giải :Gọi T là miền giá trị của P . Khi đó m là một giá trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (x ; y): ⎧ G ( x; y ) = 0 ⎧ G ( x; y ) ≥ 0 ⎧ G ( x; y ) ≤ 0 ⎨ ( hoặc ⎨ hoặc ⎨ ) ⎩ F ( x; y ) = m ⎩ F ( x; y ) = m ⎩ F ( x; y ) = mSau đó tìm các giá trị của tham số m để một trong các hệ trên có nghiệm . Từ đó suy ra miền giá trịT của P , rồi suy ra GTLN , GTNN ( nếu có ) của P.Sau đây là các bài toán minh hoạ .Bài toán 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn điều kiện : 3 x ( 3 x − 1) + 3 y ( 3 ) y − 1 = 3 xy Tìm GTLN , GTNN của biểu thức F = 3 x + 3 y + 3 xy .Lời giải : Gọi T1 là miền giá trị của F . Ta có m ∈ T1 ⇔ hệ sau có nghiệm: ( ) ⎧ 3 x ( 3 x − 1) + 3 y 3 y − 1 = 3 xy ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3 x + 3 y + 3 xy = m ⎧S = 3 x + 3 y ⎪Đặt : ⎨ . Ta có ∃x, y ⇔ ∃S, P : S 2 ≥ 4 P ⎪ P = 3 xy ⎩ ⎧ S 2 − S − 3P = 0 ⎧ S 2 + 2 S = 3mHệ trên ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩ S+P=m ⎩ P = m−S 4( S 2 − S )Ta có : S 2 ≥ 4 P ⇔ S 2 ≥ ⇔ S 2 − 4S ≤ 0 ⇔ 0 ≤ S ≤ 4 3Từ đó hệ PT đầu có nghiệm ⇔ f ( S ) = S 2 + 2 S = 3m có nghiệm 0 ≤ S ≤ 4 . Vì hàm bậc hai f(S) đồngbiến trên [ 0;4] nên PT f(S) = 3m có nghiệm 0 ≤ S ≤ 4 ⇔ f (0) ≤ 3m ≤ f (4) ⇔ 0 ≤ 3m ≤ 24⇔ 0 ≤ m ≤ 8 . Do đó T1 = [ 0 ;8]Vậy minF = 0 , maxF = 8.Bài toán 2 : Cho các số thực x, y thoả mãn : x 2 - xy + y 2 ≤ 3 Tìm GTLN , GTNN của biểu thức Q = x 2 + xy - 2y 2Lời giải : Gọi T2 là miền giá trị của Q . Ta có m ∈ T2 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎧x 2 - xy + y 2 ≤ 3 (1) ⎨ 2 2 ⎩ x + xy - 2y = m (2) ⎧x2 ≤ 3 ⎪Nếu y = 0 thì hệ (1),(2) ⇔ ⎨ 2 , suy ra trường hợp này hệ có nghiệm (x ; 0) ⇔ 0 ≤ m ≤ 3 ⎪x = m ⎩ ⎧ y 2 (t 2 − t + 1) ≤ 3 (3)Nếu y ≠ 0 thì đặt x = ty ta có hệ : ⎨ 2 2 ⎩ y (t + t − 2) = m (4) m m(t 2 − t + 1)Từ (4) ta phải có m (t + t − 2) > 0 và thay y = 2 2 2 vào (3) được 2 ≤3 t +t −2 t +t−2 ⎧m(t 2 + t − 2) > 0 ⎪Trường hợp này hệ (1),(2) có nghiệm ⇔ HÖ ⎨ m(t 2 − t + 1) có nghiệm ⎪ 2 ≤3 ⎩ t +t −2 ⎡ ⎧m > 0 ⎢⎪ ⎢ ⎨ f (t ) ≤ 3 cã nghiÖm t ∈ (−∞ ; −2) ∪ (1; +∞ ) ⎢⎪⎩ t2 − t + 1 , t ∈ R \ {−2;1} ) m⇔⎢ ( I ) ( với f (t ) = 2 ⎢⎪⎧m < 0 t +t −2 ⎢⎨ 3 ⎢ ⎪ f (t ) ≥ cã nghiÖm t ∈ (−2;1) ⎣⎩ m 2t 2 − 6 t + 1 3± 7Ta có : f ′(t ) = , f ′(t ) = 0 ⇔ t = (t + t − 2 ) 2 2 2Bảng biến thiên của hàm f(t) 3− 7 3+ 7 t −∞ -2 1 +∞ 2 2 f’(t) + + 0 - - 0 + 1− 2 7 +∞ +∞ 1 9 f(t) 1+ 2 7 1 −∞ −∞ 9Từ bảng biến thiên ta có ⎡⎧ m > 0 ...