Cẩm nang cho mùa thi: Tuyển chọn 50 bài toán điển hình Min, Max - Nguyễn Hữu Biển

Cẩm nang cho mùa thi "Tuyển chọn 50 bài toán điển hình Min, Max" giới thiệu đến các bạn hệ thống 50 bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất có hướng dẫn lời giải, mời các bạn cùng tham khảo để củng cố lại kiến thức và làm quen với dạng bài tập Min, Max.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Cẩm nang cho mùa thi: Tuyển chọn 50 bài toán điển hình Min, Max - Nguyễn Hữu Biển CẨM NANG CHO MÙA THITUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH MIN - MAX (ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/ng.huubien Email: ng.huubien@gmail.comTUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1 x+ y y+z z+x Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = + + xy + z yz + x zx + yHướng dẫnTa có x + y + z = 1 ⇒ x + y = 1 − z , ta có: x+ y 1− z 1− z = = xy + z xy + 1 − x − y (1 − x )(1 − y ) y+z 1− x 1− x = = yz + x yz + 1 − y − z (1 − y )(1 − z ) z+x 1− y 1− y = = zx + y zx + 1 − x − z (1 − x )(1 − z ) x+ y y+z z+x 1− z 1− x 1− yKhi đó P = + + = + + xy + z yz + x zx + y (1 − x)(1 − y ) (1 − y )(1 − z ) (1 − x )(1 − z ) 1− z 1− x 1− y ≥ 33 . . =3. (1 − x)(1 − y ) (1 − y )(1 − z ) (1 − x)(1 − z ) 1Vậy MinP = 3 đạt được khi x = y = z = 3Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3. 1 1 1 x y z Chứng minh rằng với ∀a ≥ 1 ta luôn có : x + y+ z ≥ x+ y+ z. a a a a a aHướng dẫn* Với a = 1 ta thấy BĐT đúng .* Ta xét khi a > 1. t 1 1Hàm số y = y = t =   nghịch biến với ∀t ∈ R , khi a > 1. a aKhi đó ta có 1 1 x y x yTa có : ( x − y )( x − y ) ≤ 0, ∀x, y ∈ R. Suy ra x + y ≤ y + x (1) a a a a a a y z z y z x x zChứng minh tương tự y + z ≤ y + z (2) z + x ≤ z + x (3) a a a a a a a a x y z y+ z z+ x x+ yCộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được 2( x + y + z ) ≤ x + y + z (4) a a a a a a x y zCộng 2 vế của (4) với biểu thức x + y + z ta được a a a x y z x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z 1 1 1 3( x + y + z)≤ x + y + z = ( x + y + z )( x + y + z ) a a a a a a a a aNGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 1TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 1 1 1 x y zSuy ra x + y + z ≥ x + y + z . ( do x + y + z = 3 ) a a a a a aDấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1. (đpcm)Bài 3: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. 1 1 1 1Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 ≤ . 1 + a (b + c) 1 + b (c + a ) 1 + c (a + b) abcHướng dẫnÁp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 3 = ab + bc + ca ≥ 3 3 (abc)2 ⇒ abc ≤ 1 . 1 1Suy ra: 1 + a 2 (b + c) ≥ abc + a 2 (b + c) = a(ab + bc + ca) = 3a ⇒ 2 ...