CẤP CỦA CÁC PHẦN TỬ VÀ CÁC LỚP LIÊN HỢP CỦA NHÓM DIHEDRAL

Mục đích của đề tài là xác định cấp của các phần tử và các lớp liên hợp của nhóm Dihedral. ABSTRACT The aim of this topic is to determine the order of all elements and conjugacy classes of Dihedral group.1. Mở đầu. Xét đa giác đều n cạnh Pn với n 2. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của Pn một góc bằng 2  /n , còn b là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của Pn và một đỉnh của nó. Khi đó, tất cả các phép đối...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CẤP CỦA CÁC PHẦN TỬ VÀ CÁC LỚP LIÊN HỢP CỦA NHÓM DIHEDRALTuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 CẤP CỦA CÁC PHẦN TỬ VÀ CÁC LỚP LIÊN HỢP CỦA NHÓM DIHEDRAL THE ORDER OF ALL ELEMENTS AND CONJUGACY CLASSES OF DIHEDRAL GROUP SVTH: NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN Lớp: 05TT, Trường Đại Học Sư Phạm GVHD: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm TÓM TẮT Mục đích của đề tài là xác định cấp của các phần tử và các lớp liên hợp của nhóm Dihedral. ABSTRACT The aim of this topic is to determine the order of all elements and conjugacy classes of Dihedral group.1. Mở đầu. Xét đa giác đều n cạnh Pn với n > 2. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm củaPn một góc bằng 2  /n , còn b là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của Pn và mộtđỉnh của nó. Khi đó, tất cả các phép đối xứ ng của Pn ( tức là các phép biến đổi đẳng cự củamặt phẳng biến Pn thành chính nó ) được liệt kê như sau: e, a, a2, …, an-1, b, ab, a2b, …, an-1b.Các phép đối xứng này lập thành một nhóm với phép toán hợp thành ( hay là tích ) của haiphép đối xứng, ký hiệu Dn , và được gọi là nhóm Dihedral.2. Cấp của các phần tử và các lớp liên hợp của nhóm Dihedral.2.1 Quan hệ liên hợp trong một nhóm.2.1.1. Định nghĩa. Cho nhóm G và a, x thuộc G. Phần tử x -1a x  G, ký hiệu ax, được gọi là liên hợpvới a bởi phần tử x. Trong nhóm G ta xác định một quan hệ hai ngôi R như sau: a, b  G, a R b nếu  x  G sao cho b = ax.2.1.2 Mệnh đề. Quan hệ R được xác định như trên là một quan hệ tương đương trên nhóm G, và còngọi là quan hệ liên hợp.2.1.3 Cấp của một phần tử trong một nhóm. Giả sử a là một phần tử bất kỳ của nhóm X và A là nhóm con sinh bởi a. Phần tử acó cấp vô hạn nếu A vô hạn, trong trường hợp này không có một số nguyên dương n nàosao cho an = e. Phần tử a có cấp m nếu A có cấp m, với m là số nguyên dương bé nhấtsao cho am = e. Ta ký hiệu cấp của phần tử a là ord ( a ). Nếu ord (a) = m, thì < a > = { a0 =1, a1, a2, … ,am-1}, và ta còn viết < a/ am = 1 > , a  X, Ord ( a ) = 1 khi và chỉ khi a = e.2.1.4 Mệnh đề. Cho nhóm G. Với quan hệ liên hợp trên G , ta có 276Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 i) a  Z (G)  Ca = { a }. ii) a, b, x  G , b = ax  ord ( a ) = ord ( b ).2.2. Nhóm Dihedral. Xét đa giác đều n cạnh Pn với n > 2. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh tâmcủa Pn một góc bằng 2  /n , còn b là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của Pnvà một đỉnh của nó. Khi đó, tất cả các phép đối xứng của P n ( tức là các phép biến đối đẳngcự của mặt phẳng biến Pn thành chính nó ) được liệt kê như sau: e, a, a2, …, an-1, b, ab, a2b, …, an-1b.Chúng lập thành một nhóm với phép toán hợp thành ( hay là tích ) của hai phép đối xứng, kýhiệu Dn và được gọi là nhóm Dihedral. Nhóm không giao hoán, có cấp 2n và có thể biểu thinhư sau Dn = < a,b/ an = e, b2 = e, (ab)2 = e > Về mặt tập hợp Dn = { e, a,……., an-1, b, ab, ………, an-1b}. hoặc Dn = { akbt / 0  k  n-1 , 0  t  1 }.2.3.Cấp của các phần tử của nhóm Dihedral.2.3.1 Mệnh đề. Xét nhóm Dihedral Dn , x  Dn , x = akbt, 0  k  n-1 , 0  t  1Khi đó: Nếu t = 1 , thì ord( akb ) = 2, 0  k  n-1 i) n , với d = ( k, n ), 0  k  n-1 Nếu t = 0 , thì ord ( ak ) = ii) d2.3.2 Hệ quả. Xét nhóm D4 = < a, b / a4 = e; b2 = e; (ab)2 = e > = { e, a, a2, a3, b, ab, a2b, a3b }. D4 có cấp 8 nên các phần tử có thể có các cấp sau: 1, 2, 4.  Các phần tử cấp 1: e  Các phần tử cấp 2: b, a2, ab, a2b, a3b  Các phần tử cấp 4: a3; a2.3.3 Hệ quả. Xét nhóm D6 = < a, b / a6 = e; b2 = e; (ab)2 = e > = { e; a; a2; a3; a4; a5; b; ab; a2b; a3b; a4b; a5b } D6 có cấp 12 nên các phần tử của nhóm có thể có các cấp sau: 1, 2, 3, 4, 6  Các phần tử cấp 1: e  Các phần tử cấp 2: b; a3; ab; a2b; a3b; a4b; a5b  Các phần tử cấp 3: a2; a4  Các phần tử cấp 6: a; a52.3.4 Hệ quả. Xét Dp = < a, b / ap=e; b2 = e; (ab)2 = e > , với p là số nguyên tố lẻ. = { e, a, a2, a3 ...