Cấp độ phát hiện bất biến hình học trong quá trình chứng minh

Bài báo phân loại các cấp độ phát hiện bất biến hình học trong quá trình chứng minh với sự hỗ trợ của phần mềm toán học động. Dựa trên các cấp độ này, sinh viên có thể nhận thấy được vai trò của việc phát hiện bất biến trong quá trình tìm lời giải cho một bài toán. Từ đó giúp các em có thể phân biệt được bất biến của các nhóm biến hình khác nhau và biết sử dụng những bất biến phù hợp trong giải các bài toán sơ cấp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Cấp độ phát hiện bất biến hình học trong quá trình chứng minhNguyễn Danh NamTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ118(04): 179 - 184CẤP ĐỘ PHÁT HIỆN BẤT BIẾN HÌNH HỌCTRONG QUÁ TRÌNH CHỨNG MINHNguyễn Danh Nam*Trường ĐH Sư phạm – ĐH Thái NguyênTÓM TẮTBài báo phân loại các cấp độ phát hiện bất biến hình học trong quá trình chứng minh với sự hỗ trợcủa phần mềm toán học động. Dựa trên các cấp độ này, sinh viên có thể nhận thấ y được vai trò củaviệc phát hiện bất biến trong quá trình tìm lời giải cho một bài toán. Từ đó giúp các em có thểphân biệt được bất biến của các nhóm biến hình khác nhau và biết sử dụng những bất biến phù hợptrong giải các bài toán sơ cấp. Đồng thời, thông qua bất biến hình học, sinh viên bước đầu làmquen với việc xây dựng hình học theo quan điểm biến hình. Đây là quan điểm hiện đại trong việcxây dựng hình học, nó giúp cho việc phân loại các nhóm hình học khác nhau như hình học xạ ảnh,hình học afin, hình học Ơclít dựa trên bất biến của mỗi nhóm.Từ khóa: Bất biến hình học, nhóm biến hình, cấp độ phát hiện bất biến, quá trình chứng minh,môi trường hình học động.ĐẶT VẤN ĐỀ*Xây dựng hình học theo quan điểm biến hìnhđược dựa trên ý tưởng gắn hình học với việcnghiên cứu về lý thuyết nhóm được nhà toánhọc người Đức Felix Klein (1849-1925) khởixướng từ thế kỉ 19. Ông đã sắp xếp hệ thốngcác phép biến hình lại thành những nhóm cácphép biến hình khác dựa vào các bất biến củamỗi nhóm [2]. Theo đó, một tính chất hìnhhọc được khảo sát xem nó có là bất biến quanhóm các phép biến hình nào đó hay không.Dựa trên các bất biến của mỗi nhóm cùng vớicác nhóm con của chúng người ta đã sắp xếphệ thống lại các thứ hình học theo một quanđiểm mới và hiện đại [4]. Cụ thể, mối quan hệgiữa các nhóm biến hình được sắp xếp theoquan hệ bao hàm như sau: nhóm xạ ảnh ⊃nhóm afin ⊃ nhóm đồng dạng ⊃ nhóm dờihình. Như vậy, một hình hình học sẽ là phầntử của một lớp tương đương nào đó, ví dụ nhưhai hình bằng nhau, hai hình đồng dạng vớinhau hoặc hai hình là ảnh của nhau qua mộtphép biến đổi afin hay biến đổi xạ ảnh. Dựatrên bất biến của các nhóm biến hình, chúngta có thể xác định được bài toán đang xétthuộc hình học của nhóm biến hình nào. Từđó, có thể đề xuất các phương pháp giải bàitoán một cách hợp lý.*Bảng 1. Bất biến của các nhóm biến hìnhNhóm biến hìnhNhóm xạ ảnhNhóm afinNhóm đồng dạngNhóm dời hìnhBất biếnTỉ số kép của bốn điểmthẳng hàng, hàng điểm điềuhoà.Tỉ số đơn của ba điểm thẳnghàng, sự thẳng hàng, songsong, đồng quy.Tỉ số độ dài đoạn thẳng, sựthẳng hàng, song song, độlớn của góc.Độ dài đoạn thẳng, sự thẳnghàng, song song, vuông góc,đồng quy, độ lớn của góc.Nghiên cứu hình học theo quan điểm biếnhình dễ tiếp cận hơn khi các phần mềm hìnhhọc động ra đời như: GeoGebra, Cinderella,Geometer’s Sketchpad, Cabri Geometry,Autograph, GeoSpacw,… Các phần mềm nàyđòng vai trò trong việc minh họa các tính chấthình học là bất biến qua phép biến hình. Ví dụnhư tính chất đồng quy của ba đường trungtuyến trong tam giác không phụ thuộc vào sựthay đổi hình dạng tam giác là tính chất afin.Trong môi trường hình học động, chúng tôiphân biệt bất biến tĩnh và bất biến động. Bấtbiến tĩnh là những đại lượng không đổi, cốđịnh. Bất biến động là bất biến của hình có sựthay đổi về vị trí qua một phép biến đổi [1].Tel: 0979446224; Email: danhnam.nguyen@dhsptn.edu.vn179Nguyễn Danh NamTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆPHÂN LOẠI CẤP ĐỘ PHÁT HIỆN BẤTBIẾN HÌNH HỌCChúng tôi giao cho nhóm gồm 67 sinh viên 4bài toán (bài toán 1 đến bài toán 4) và yêu cầutìm lời giải với sự hỗ trợ của phần mềm hìnhhọc động. Sau đó chúng tôi tiến hành quan sátquá trình giải bài toán, ghi lại sự chuyển độngcủa con trỏ, bàn phím và ghi chú. Dựa trên hệthống câu hỏi (Bảng 2) được thiết kế theothang bậc của Likert với các cột tương ứng (1= Rất không đồng ý, 2= Không đồng ý, 3 =Không có ý kiến, 4 = Đồng ý, 5 = Rất đồngý), bước đầu chúng tôi đã phân loại các cấpđộ phát hiện bất biến hình học. Phân tích sốliệu từ bảng 2, một nhóm gồm 5 sinh viên đạtđược các mức độ phát hiện bất biến khácnhau đã được chọn để phỏng vấn.Bảng 2. Bảng tự đánh giá cấp độ phát hiệnbất biến hình học123456789Câu hỏi tự đánh giá1 2 3 4 5Chỉ phát hiện được các bất biếnmà bài toán đã choPhân biệt được các hình bằngnhau hoặc đồng dạng với nhautrong một hình vẽNhận ra các bất biến tĩnhPhân biệt được bất biến của cácphép biến hình khác nhau nhưphép đối xứng, phép tịnh tiến,phép quayPhát hiện các bất biến độngtrong bài toán bằng cách kéo rêchuột, đo đạc và kiểm tra cácmối quan hệ với sự hỗ trợ củaphần mềm toán học độngPhát hiện ảnh của một hình quamột phép biến hìnhPhát hiện ra các bất biến độngmà không cần sự hỗ trợ củaphần mềm toán học độngPhát hiện sự tồn tại của các phépbiến hình mà không cần sự hỗtrợ của phần mềm toán học độngPhân biệt được bất biến của cácloại hình học khác nhau nhưhình học xạ ảnh, hình học afin,hay hình học ...