Hình Học Vi Phân - chương 1 Lý Thuyết Đường

Phép tính vi tích phân là công cụ chủ yếu để nghiên cứi hình học vi phân. do đó một cách tự nhiên và hợp lý nhất là để sử dụng công cụ này là đồng nhất chúng hoặc một bộ phận của chúng với các đối tượng của giải tích, các hàm khả vi
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hình Học Vi Phân - chương 1 Lý Thuyết Đường L IM ĐUChúng tôi thành th t cám ơn Trư ng Đ i H c Sư Ph m, Đ i H c Hu đã t o đi u ki n đ bàigi ng này đư c ra đ i. Trong quá trình vi t ch c ch n s không tránh kh i nh ng sai sót. Chúngtôi r t mong nh n đư c càng nhi u càng t t nh ng ý ki n đóng góp c a b n đ c, sinh viên cũngnhư các đ ng nghi p. Hu , ngày 16 tháng 01 năm 2006 Tác gi iM cl c1 Lý thuy t đư ng 1 1.1 Đư ng tham s ............................. 1 1.1.1 Đ nh nghĩa đư ng tham s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Đư ng tham s chính quy. Đ dài cung . . . . . . . . . . . . 4 Các tính ch t đ a phương c a đư ng tham s trong R3 . . . . . . . 1.2 7 1.2.1 Đ cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Trư ng m c tiêu Frénet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Đ xo n. Công th c Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 Công th c tính đ cong và đ xo n . . . . . . . . . . . . . . 13 Đ nh lý cơ b n cho đư ng tham s trong R3 . . . . . . . . . 15 1.2.5 Đư ng tham s trong R2 (Đư ng tham s ph ng) . . . . . . . . . . 17 1.3 1.3.1 Đ nh lý cơ b n cho đư ng tham s ph ng . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Đư ng tròn m t ti p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 Đư ng túc b và đư ng thân khai . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 M t s tính ch t toàn c c c a các đư ng cong ph ng . . . . . . . . 23 1.4.1 Bài toán đ ng chu và b t đ ng th c đ ng chu . . . . . . . . 24 ii Hình h c vi phân1.4.2 Đ nh lý b n đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iiiChương 1Lý thuy t đư ng1.1 Đư ng tham sPhép tính vi tích phân là công c ch y u đ nghiên c u hình h c vi phân. Do đóm t cách t nhiên và h p lý nh t là đ s d ng công c này là đ ng nh t chúngho c m t b ph n c a chúng v i các đ i tư ng c a gi i tích, các hàm kh vi.1.1.1 Đ nh nghĩa đư ng tham sĐ nh nghĩa 1. Cho ánh x c : I −→ Rnv i I ⊂ R là m t kho ng (m , đóng, n a m n a đóng, n a đư ng th ng th cho c c toàn b đư ng th ng th c. . . ). G i C = c(I ) ⊂ Rn , nh c a toàn b t pI. Khi đó (C, c) đư c g i là m t đư ng tham s (parametrized curve) v i tham shóa c và tham s t. C đư c g i là v t c a đư ng tham s .N u c là hàm liên t c, kh vi l p C k , kh vi l p C ∞ . . . thì tương ng ta nói C làđư ng tham s liên t c, kh vi l p C k , kh vi l p C ∞ . . . .Gi s c(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)), thì c kh vi l p C k (k = 0, 1, 2, . . . ) có nghĩalà các hàm thành ph n xi : I −→ R 1 Hình h c vi phânkh vi l p C k (k = 0, 1, 2, . . . ).N u c là kh vi thì vector c (t) := (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn , g i là vector ti pxúc hay vector v n t c c a C t i c(t) (hay c a c t i t).Chú ý. 1. Trong su t giáo trình này, n u không nói gì thêm, thu t ng kh vi đư c hi u là kh vi t i m i đi m và kh vi đ n l p c n thi t. T đây tr đi chúng ta ch xét các đư ng tham s kh vi. Vì th , khi không c n nh n m nh chúng ta s b đi t kh vi. 2. Đ đơn gi n, thay vì dùng ký hi u đ y đ (C, c) đ ch đư ng tham s ta có th nói C là đư ng tham s n u tham s hóa đã bi t. Th t ra tham s hóa c a đư ng tham s cho phép ta xác đ nh đư c v t c a nó nên khi nói v đư ng tham s ch c n cho tham s hóa c a nó là đ . Đây là lý do đa s các tài li u đ u đ ng nh t đư ng tham s v i tham s hóa c a nó. Chúng ta cũng s làm như v y trong su t giáo trình này. Nhi u tài li u s d ng thu t ng cung tham s thay vì đư ng tham s . 3. Khái ni m đư ng cong trong chương này s đư c hi u là v t c a m t đư ng tham s nào đó. V sau khái ni m này còn đư c hi u theo m t nghĩa r ng hơn (xem Nh n xét ??, Chương II). 4. Các ví d dư i đây s cho th y m t t p con C ⊂ Rn có th có nhi u tham s hóa khác nhau. V i hai tham s khác nhau s cho các tính ch t khác nhau.Ví d 1. Chúng ta có th xem đ th c a hàm s y = f (x) v i mi n xác đ nhI ⊂ R như là v t c a đư ng tham s c : I −→ R2 ; c(t) = (t, f (t)).Ví d 2. Đư ng tham s (v i tham s hóa) c(t) = p + tv ∈ Rn ,là đư ng th ng đi qua đi m p v i vector v n t c v.Ví d 3. Đư ng tròn tâm O, bán kính r có m t tham s hóa d ng c(t) = (r cos t, r sin t), 2 Hình h c vi phân c(I ) f (b) f (a) c(I ) c c(t) = (t, f (t) a b I I Hình 1.1: c(t) = (t, f (t)). Hình 1.2: c(t) = (x(t), y (t)).Ví d 4. Đư ng parabol có m t tham s hóa d ng c(t) = (t, t2 ),Ví d 5. Cho đư ng tham s C v i tham s hóa ...